解説

方針・初手

点 $x=t$ における曲線 $y=f(x)$ の接線が原点を通るための条件は

$$ f(t)=t f'(t) $$

である。したがって，この等式を満たす $t$ が $(1,a)$ の中に存在することを示せばよい。

与えられた条件 $f(a)=a f(1)$ は，$\dfrac{f(x)}{x}$ を考えると両端で同じ値になることを意味するので，ロルの定理を用いるのが自然である。

解法1

関数

$$ g(x)=\frac{f(x)}{x} $$

を区間 $[1,a]$ で考える。

$a>1$ であるから，この区間では常に $x\neq 0$ であり，$f$ は微分可能なので $g$ は $[1,a]$ で連続，$(1,a)$ で微分可能である。

また，条件 $f(a)=a f(1)$ より

$$ g(a)=\frac{f(a)}{a}=f(1)=g(1) $$

が成り立つ。

したがって，ロルの定理により，ある $c\in(1,a)$ が存在して

$$ g'(c)=0 $$

となる。

ここで

$$ g'(x)=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} $$

であるから，

$$ g'(c)=0 $$

より

$$ c f'(c)-f(c)=0 $$

すなわち

$$ f(c)=c f'(c) $$

を得る。

次に，点 $(c,f(c))$ における接線を考える。その方程式は

$$ y-f(c)=f'(c)(x-c) $$

である。

この直線が原点 $(0,0)$ を通ることを確かめるため，$x=0,\ y=0$ を代入すると

$$ 0-f(c)=f'(c)(0-c) $$

すなわち

$$ f(c)=c f'(c) $$

となる。これはすでに示した等式である。

よって，点 $x=c$ における曲線 $y=f(x)$ の接線は原点を通る。

したがって，曲線 $y=f(x)$ には原点 $(0,0)$ を通る接線が存在することが示された。

解説

接線が原点を通る条件を式に直すと $f(t)=t f'(t)$ となる。この形は

$$ \left(\frac{f(x)}{x}\right)'=\frac{x f'(x)-f(x)}{x^2} $$

にそのまま現れる。

したがって，$\dfrac{f(x)}{x}$ を考えてロルの定理を使うのが本問の核心である。与えられた条件 $f(a)=a f(1)$ は，まさに

$$ \frac{f(a)}{a}=\frac{f(1)}{1} $$

を意味しており，ロルの定理を使う準備になっている。

答え

$g(x)=\dfrac{f(x)}{x}$ とおくと，$g(1)=g(a)$ であるから，ロルの定理よりある $c\in(1,a)$ が存在して

$$ g'(c)=0 $$

となる。よって

$$ \frac{c f'(c)-f(c)}{c^2}=0 $$

すなわち

$$ f(c)=c f'(c) $$

である。したがって，点 $(c,f(c))$ における接線

$$ y-f(c)=f'(c)(x-c) $$

は原点 $(0,0)$ を通る。よって，曲線 $y=f(x)$ には原点を通る接線が存在する。