解説

方針・初手

接点の $x$ 座標を $u$ とおくと、曲線 $y=\dfrac{1}{x}$ の $x=u$ における接線は微分によって求まる。点 $P(a,b)$ がその接線上にある条件を $u$ について整理すれば、$u$ の2次方程式が得られ、その2根が $s,t$ である。

（2） では （1） の結果から $\dfrac{t}{s}$ を $ab$ で表すと、比の最小化が $ab$ の最大化に帰着する。したがって、$P$ が動く放物線上で $ab$ を最大にすればよい。

解法1

曲線

$$ y=\frac{1}{x} $$

の導関数は

$$ y'=-\frac{1}{x^2} $$

である。

したがって、接点の $x$ 座標が $u$ である接線は、接点 $\left(u,\dfrac{1}{u}\right)$ における接線だから

$$ y-\frac{1}{u}=-\frac{1}{u^2}(x-u) $$

すなわち

$$ y=-\frac{1}{u^2}x+\frac{2}{u} $$

である。

この接線が点 $P(a,b)$ を通る条件は

$$ b=-\frac{a}{u^2}+\frac{2}{u} $$

である。これを整理すると

$$ bu^2-2u+a=0 $$

となる。

この2次方程式の2つの正の解が、接点 $Q,R$ の $x$ 座標 $s,t$ に対応する。よって

$$ u=\frac{2\pm\sqrt{4-4ab}}{2b} =\frac{1\pm\sqrt{1-ab}}{b} $$

である。

しかも $s<t$ だから

$$ s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},\qquad t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b} $$

となる。これで （1） は求まった。

次に （2） を考える。

上の式より

$$ \begin{aligned} \frac{t}{s} &= \frac{1+\sqrt{1-ab}}{1-\sqrt{1-ab}} \end{aligned} $$

である。

ここで $0<ab<1$ より $0<\sqrt{1-ab}<1$ であるから、右辺は $\sqrt{1-ab}$ の増加関数である。したがって $\dfrac{t}{s}$ を最小にするには、$\sqrt{1-ab}$ を最小にすればよく、結局 $ab$ を最大にすればよい。

点 $P(a,b)$ は

$$ b=\frac{9}{4}-3a^2 \qquad \left(a>0,\ b>0\right) $$

上を動くので、

$$ ab=a\left(\frac{9}{4}-3a^2\right) =\frac{9}{4}a-3a^3 $$

を最大にすればよい。

これを

$$ f(a)=\frac{9}{4}a-3a^3 $$

とおくと、

$$ f'(a)=\frac{9}{4}-9a^2 $$

であるから、

$$ f'(a)=0 \iff a^2=\frac{1}{4} \iff a=\frac{1}{2} $$

となる。ただし $a>0$ なので $a=\dfrac{1}{2}$ をとる。

このとき

$$ b=\frac{9}{4}-3\cdot\frac{1}{4} =\frac{3}{2} $$

であり、

$$ ab=\frac{1}{2}\cdot\frac{3}{2} =\frac{3}{4} $$

となる。したがって

$$ \sqrt{1-ab}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\frac{1}{2} $$

より

$$ \begin{aligned} \frac{t}{s} &= \frac{1+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} =3 \end{aligned} $$

である。

解説

接線を「接点の $x$ 座標」で表すのがこの問題の核心である。曲線そのものを直接いじるより、接点を媒介変数 $u$ で置くと、点 $P(a,b)$ を通る条件が2次方程式になり、2本の接線がその2根として自然に現れる。

（2） では $s,t$ を個別に扱うより、まず $\dfrac{t}{s}$ を $ab$ だけの式に落とすのが重要である。すると、放物線上で積 $ab$ を最大化するだけの問題に変わり、微分で処理できる。

答え

**(1)**

$$ s=\frac{1-\sqrt{1-ab}}{b},\qquad t=\frac{1+\sqrt{1-ab}}{b} $$

**(2)**

$$ \frac{t}{s}_{\min}=3 $$

このとき

$$ a=\frac{1}{2},\qquad b=\frac{3}{2} $$

である。