解説

方針・初手

区間 $[0,1]$ で減少することを示すには、任意の $x_1,x_2\in[0,1]$ に対して $x_1<x_2$ ならば $h(x_1)>h(x_2)$ を示せばよい。

そこで、任意に $0\leqq x_1<x_2\leqq 1$ をとり、区間 $[x_1,x_2]$ に平均値の定理を適用する。

解法1

$h(x)$ は $[0,1]$ 上で連続、$(0,1)$ 上で微分可能であるから、任意の $0\leqq x_1<x_2\leqq 1$ に対して、$h$ は $[x_1,x_2]$ 上で連続、$(x_1,x_2)$ 上で微分可能である。

よって平均値の定理より、ある $c\in(x_1,x_2)$ が存在して

$$ h(x_2)-h(x_1)=h'(c)(x_2-x_1) $$

が成り立つ。

ここで、仮定より $(0,1)$ の任意の点で $h'(x)<0$ であるから、

$$ h'(c)<0 $$

である。また、$x_1<x_2$ であるから

$$ x_2-x_1>0 $$

である。したがって

$$ h(x_2)-h(x_1)=h'(c)(x_2-x_1)<0 $$

となる。

ゆえに

$$ h(x_2)<h(x_1) $$

である。

これは任意の $0\leqq x_1<x_2\leqq 1$ に対して成り立つので、$h(x)$ は区間 $[0,1]$ で減少する。

解説

この種の問題では、「導関数が負」であることを「関数値の差が負」に結びつけるのが基本である。その橋渡しをするのが平均値の定理である。

単に $h'(x)<0$ だから減少すると述べるのではなく、任意の $x_1<x_2$ をとって平均値の定理を適用し、

$$ h(x_2)-h(x_1)=h'(c)(x_2-x_1) $$

と表して符号を調べるのが論証の本体である。

答え

任意の $0\leqq x_1<x_2\leqq 1$ に対し、平均値の定理よりある $c\in(x_1,x_2)$ が存在して

$$ h(x_2)-h(x_1)=h'(c)(x_2-x_1) $$

が成り立つ。ここで $h'(c)<0$ かつ $x_2-x_1>0$ より

$$ h(x_2)-h(x_1)<0 $$

すなわち $h(x_2)<h(x_1)$ である。したがって、$h(x)$ は区間 $[0,1]$ で減少する。