解説

方針・初手

$P,Q$ はともに辺 $AB$ 上にあるので，$\angle QBO=\angle PBO=\angle ABO=\alpha$ である。また

$$ \angle AOP=\angle POQ=\angle QOB=\beta $$

より，$\angle AOB=3\beta,\ \angle POB=2\beta,\ \angle QOB=\beta$ である。したがって，各三角形に正弦定理を用いると $OA,OP,OQ$ を $\alpha,\beta$ で表せる。

（3） では，それらを $f(x)=\dfrac{1}{\sin x}$ で書き直し，（2） の凸性を使って比較する。

解法1

**(1)**

$Q$ は辺 $AB$ 上にあるから，

$$ \angle ABO=\angle QBO=\alpha $$

である。また

$$ \angle AOB=\angle AOP+\angle POQ+\angle QOB=3\beta $$

であるから，$\triangle OAB$ において

$$ \angle OAB=\pi-\alpha-3\beta $$

となる。正弦定理より

$$ \frac{OA}{\sin \alpha}=\frac{OB}{\sin \angle OAB} $$

である。ここで $OB=1$ かつ

$$ \sin \angle OAB=\sin(\pi-\alpha-3\beta)=\sin(\alpha+3\beta) $$

だから，

$$ OA=\frac{\sin \alpha}{\sin(\alpha+3\beta)} $$

を得る。

**(2)**

$$ f(x)=\frac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1} $$

とおくと，

$$ f'(x)=-\frac{\cos x}{\sin^2 x} $$

さらに

$$ f''(x)=\frac{1}{\sin x}+\frac{2\cos^2 x}{\sin^3 x} =\frac{\sin^2 x+2\cos^2 x}{\sin^3 x} =\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x} $$

である。

$0<x<\dfrac{\pi}{2}$ では $\sin x>0$ であり，$1+\cos^2 x>0$ だから，

$$ f''(x)>0 $$

が成り立つ。よって，$y=f(x)$ のグラフは $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で下に凸である。

**(3)**

まず，$\triangle OPB,\triangle OQB$ に正弦定理を用いる。

$\triangle OPB$ では $\angle PBO=\alpha,\ \angle POB=2\beta$ なので，

$$ \angle OPB=\pi-\alpha-2\beta $$

したがって

$$ \frac{OP}{\sin\alpha} =\frac{OB}{\sin(\pi-\alpha-2\beta)} =\frac{1}{\sin(\alpha+2\beta)} $$

より

$$ OP=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+2\beta)} $$

である。

同様に，$\triangle OQB$ では $\angle QBO=\alpha,\ \angle QOB=\beta$ なので，

$$ OQ=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)} $$

となる。また

$$ OB=1=\frac{\sin\alpha}{\sin\alpha} $$

であるから，

$$ OA+OB=\sin\alpha\left(f(\alpha+3\beta)+f(\alpha)\right), $$

$$ OP+OQ=\sin\alpha\left(f(\alpha+2\beta)+f(\alpha+\beta)\right) $$

と書ける。

ここで $\angle A$ は鈍角だから

$$ \pi-\alpha-3\beta>\frac{\pi}{2} $$

すなわち

$$ \alpha+3\beta<\frac{\pi}{2} $$

である。よって

$$ 0<\alpha<\alpha+\beta<\alpha+2\beta<\alpha+3\beta<\frac{\pi}{2} $$

が成り立ち，（2） より $f$ はこの区間で下に凸である。

そこで

$$ \alpha+\beta=\frac{2}{3}\alpha+\frac{1}{3}(\alpha+3\beta), \qquad \alpha+2\beta=\frac{1}{3}\alpha+\frac{2}{3}(\alpha+3\beta) $$

に注意すると，$f$ の厳密な凸性から

$$ f(\alpha+\beta) < \frac{2}{3}f(\alpha)+\frac{1}{3}f(\alpha+3\beta), $$

$$ f(\alpha+2\beta) < \frac{1}{3}f(\alpha)+\frac{2}{3}f(\alpha+3\beta) $$

である。両式を加えると

$$ f(\alpha+\beta)+f(\alpha+2\beta) < f(\alpha)+f(\alpha+3\beta) $$

となる。$\sin\alpha>0$ だから，

$$ OP+OQ<OA+OB $$

すなわち

$$ OA+OB>OP+OQ $$

である。

解説

この問題の要点は，$P,Q$ がともに辺 $AB$ 上にあるため，$\angle PBO,\angle QBO,\angle ABO$ がすべて $\alpha$ になる点である。これにより，$\triangle OAB,\triangle OPB,\triangle OQB$ のいずれにも正弦定理をそのまま適用できる。

（3） は数値計算ではなく，$OA,OB,OP,OQ$ をすべて $\dfrac{1}{\sin x}$ の形にそろえてから，（2） で示した凸性を使うのが本筋である。等間隔に並んだ4点では，凸関数に対して両端の和が真ん中2点の和より大きくなる。

答え

**(1)**

$$ OA=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+3\beta)} $$

**(2)**

$$ f''(x)=\frac{1+\cos^2 x}{\sin^3 x}>0 \qquad \left(0<x<\frac{\pi}{2}\right) $$

より，$y=\dfrac{1}{\sin x}$ のグラフは $0<x<\dfrac{\pi}{2}$ で下に凸である。

**(3)**

$$ OA+OB>OP+OQ $$