解説

方針・初手

$f''(x)\geqq 0$ であるから、$f'(x)$ は $[0,1]$ で単調増加である。したがって、各区間において $f(x)$ は、左端での接線と右端の傾きをもつ一次関数の間にはさまれる。

まず （1） でその評価を示し、次にそれを各小区間 $\left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right]$ に適用して積分すれば （2） が出る。最後に $S_n,T_n$ を具体的に計算して （3） の極限をはさみうちで求める。

解法1

**(1)**

$f''(x)\geqq 0$ より、$f'$ は $[0,1]$ で単調増加である。

いま $0\leqq a<b\leqq 1$ とし、$a\leqq x\leqq b$ とする。平均値の定理により、ある $c\in[a,x]$ が存在して

$$ f(x)-f(a)=f'(c)(x-a) $$

と書ける。

ここで $a\leqq c\leqq x\leqq b$ であり、$f'$ は単調増加であるから

$$ f'(a)\leqq f'(c)\leqq f'(b) $$

が成り立つ。さらに $x-a\geqq 0$ なので、両辺に $x-a$ を掛けると

$$ (x-a)f'(a)\leqq f(x)-f(a)\leqq (x-a)f'(b) $$

となる。よって

$$ (x-a)f'(a)+f(a)\leqq f(x)\leqq (x-a)f'(b)+f(a) $$

が成り立つ。

**(2)**

各 $k=0,1,\dots,n-1$ に対し、

$$ a=\frac{k}{n},\quad b=\frac{k+1}{n} $$

として （1） を適用する。すると、$\dfrac{k}{n}\leqq x\leqq \dfrac{k+1}{n}$ において

$$ \left(x-\frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{k}{n}\right) \leqq f(x) \leqq \left(x-\frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k+1}{n}\right)+f\left(\frac{k}{n}\right) $$

を得る。

これを区間 $\left[\dfrac{k}{n},\dfrac{k+1}{n}\right]$ で積分すると

$$ \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left\{ \left(x-\frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k}{n}\right)+f\left(\frac{k}{n}\right) \right\}\,dx \leqq \int_{k/n}^{(k+1)/n} f(x)\,dx \leqq \int_{k/n}^{(k+1)/n} \left\{ \left(x-\frac{k}{n}\right)f'\left(\frac{k+1}{n}\right)+f\left(\frac{k}{n}\right) \right\}\,dx $$

となる。

これを $k=0,1,\dots,n-1$ について足し合わせれば

$$ S_n\leqq \int_0^1 f(x)\,dx\leqq T_n $$

を得る。

**(3)**

まず $S_n,T_n$ を計算する。

$S_n$ については

$$ \int_{k/n}^{(k+1)/n}\left(x-\frac{k}{n}\right)\,dx =\int_0^{1/n} t\,dt =\frac{1}{2n^2} $$

より、

$$ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( \frac{1}{2n^2}f'\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{n}f\left(\frac{k}{n}\right) \right) $$

すなわち

$$ nS_n = \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k}{n}\right) $$

である。

同様に

$$ nT_n = \sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) + \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k+1}{n}\right) $$

となる。

（2） の不等式に $n$ を掛けると

$$ nS_n\leqq n\int_0^1 f(x)\,dx\leqq nT_n $$

であるから、

$$ \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k}{n}\right) \leqq n\int_0^1 f(x)\,dx-\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) \leqq \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k+1}{n}\right) $$

を得る。

ここで $f$ は第2次導関数をもつので $f'$ は連続である。したがって、左右はともにリーマン和として

$$ \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k}{n}\right) = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{2n}\sum_{k=0}^{n-1}f'\left(\frac{k+1}{n}\right) = \frac{1}{2}\int_0^1 f'(x)\,dx $$

に収束する。

よって、はさみうちの原理より

$$ \lim_{n\to\infty} \left\{ n\int_0^1 f(x)\,dx-\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} = \frac{1}{2}\int_0^1 f'(x)\,dx $$

であり、$\int_0^1 f'(x)\,dx=f(1)-f(0)=q-p$ だから

$$ \lim_{n\to\infty} \left\{ n\int_0^1 f(x)\,dx-\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} = \frac{q-p}{2} $$

となる。

解説

この問題の本質は、$f''(x)\geqq 0$ から $f'$ が増加関数になることである。すると、区間 $[a,b]$ における $f(x)-f(a)$ の傾きは、左端の傾き $f'(a)$ と右端の傾き $f'(b)$ の間にはさまれる。これが （1） の評価であり、各小区間で積分すると （2） の評価になる。

（3） では、$S_n,T_n$ がともに 「$\sum f\left(\dfrac{k}{n}\right)$ に微小な補正項を加えたもの」 になっており、その補正項が $f'$ のリーマン和になることが決定的である。したがって極限値は $\dfrac12\int_0^1 f'(x)\,dx$、すなわち端点値だけで $\dfrac{q-p}{2}$ と表される。

答え

**(1)**

$$ (x-a)f'(a)+f(a)\leqq f(x)\leqq (x-a)f'(b)+f(a) \qquad (a\leqq x\leqq b) $$

**(2)**

$$ S_n\leqq \int_0^1 f(x)\,dx\leqq T_n $$

**(3)**

$$ \lim_{n\to\infty} \left\{ n\int_0^1 f(x)\,dx-\sum_{k=0}^{n-1}f\left(\frac{k}{n}\right) \right\} = \frac{q-p}{2} $$

である。