解説

方針・初手

$f$ は $x=-1,1$ を境に定義が変わる区分的関数である。したがって、合成関数でも内側の関数の値が $-1$ 未満、$-1$ 以上 $1$ 未満、$1$ 以上のどこに入るかで場合分けする。

解法1

まず、関数 $f(x)$ は

$$ f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<-1)\\ 0 & (-1\leqq x<1)\\ x-1 & (1\leqq x) \end{cases}

$$

である。

**(1)**

$y=f(x)$ のグラフを考える。

$x<-1$ では $y=x+1$ であり、これは傾き $1$ の直線である。ただし $x=-1$ は含まれないので、左側から点 $(-1,0)$ に近づく半直線である。

$-1\leqq x<1$ では $y=0$ である。これは $x$ 軸上の線分である。$x=-1$ は含み、$x=1$ はこの部分では含まない。

$1\leqq x$ では $y=x-1$ である。これは傾き $1$ の直線で、点 $(1,0)$ を含む右向きの半直線である。

したがって、グラフは次の3つを合わせたものである。

$$ y= \begin{cases} x+1 & (x<-1)\\ 0 & (-1\leqq x<1)\\ x-1 & (1\leqq x) \end{cases}

$$

なお、点 $(-1,0)$ は中央の部分に含まれ、点 $(1,0)$ は右側の部分に含まれる。

次に、（2） $(g\circ f)(x)=g(f(x))$ を求める。

$g(x)=x^2-\dfrac12$ であるから、

$$ (g\circ f)(x)=g(f(x))={f(x)}^2-\frac12

$$

である。$f(x)$ の定義に従って場合分けすると、

**(i)**

$x<-1$ のとき、$f(x)=x+1$ だから、

$$ (g\circ f)(x)=(x+1)^2-\frac12

$$

**(ii)**

$-1\leqq x<1$ のとき、$f(x)=0$ だから、

$$ (g\circ f)(x)=0^2-\frac12=-\frac12

$$

**(iii)**

$1\leqq x$ のとき、$f(x)=x-1$ だから、

$$ (g\circ f)(x)=(x-1)^2-\frac12

$$

よって、

$$ (g\circ f)(x)= \begin{cases} (x+1)^2-\dfrac12 & (x<-1)\\ -\dfrac12 & (-1\leqq x<1)\\ (x-1)^2-\dfrac12 & (1\leqq x) \end{cases}

$$

このグラフは、$x<-1$ では放物線 $y=(x+1)^2-\dfrac12$ の左側、$-1\leqq x<1$ では直線 $y=-\dfrac12$、$1\leqq x$ では放物線 $y=(x-1)^2-\dfrac12$ の右側である。

点 $(-1,-\dfrac12)$ は中央部分に含まれ、点 $(1,-\dfrac12)$ は右側部分に含まれる。

最後に、（3） $(f\circ g)(x)=f(g(x))$ を求める。

ここでは、内側の関数

$$ g(x)=x^2-\frac12

$$

が、$f$ のどの定義域に入るかを調べる。

まず、

$$ g(x)=x^2-\frac12\geqq -\frac12

$$

であるから、$g(x)<-1$ となることはない。したがって、$f$ の第1の場合は使われない。

次に、

$$ -1\leqq g(x)<1

$$

となる範囲を求める。$g(x)\geqq -\dfrac12$ なので、左側の不等式 $-1\leqq g(x)$ は常に成り立つ。よって、

$$ x^2-\frac12<1

$$

を解けばよい。

$$ x^2<\frac32

$$

より、

$$ -\sqrt{\frac32}<x<\sqrt{\frac32}

$$

である。この範囲では $f(g(x))=0$ である。

一方、

$$ 1\leqq g(x)

$$

となるのは、

$$ 1\leqq x^2-\frac12

$$

すなわち

$$ x^2\geqq \frac32

$$

である。よって、

$$ x\leqq -\sqrt{\frac32},\quad \sqrt{\frac32}\leqq x

$$

である。この範囲では、

$$ f(g(x))=g(x)-1=x^2-\frac12-1=x^2-\frac32

$$

となる。

したがって、

$$ (f\circ g)(x)= \begin{cases} x^2-\dfrac32 & \left(x\leqq -\sqrt{\dfrac32}\right)\\ 0 & \left(-\sqrt{\dfrac32}<x<\sqrt{\dfrac32}\right)\\ x^2-\dfrac32 & \left(\sqrt{\dfrac32}\leqq x\right) \end{cases}

$$

また、

$$ \sqrt{\frac32}=\frac{\sqrt6}{2}

$$

であるから、

$$ (f\circ g)(x)= \begin{cases} x^2-\dfrac32 & \left(x\leqq -\dfrac{\sqrt6}{2}\right)\\ 0 & \left(-\dfrac{\sqrt6}{2}<x<\dfrac{\sqrt6}{2}\right)\\ x^2-\dfrac32 & \left(\dfrac{\sqrt6}{2}\leqq x\right) \end{cases}

$$

と書いてもよい。

このグラフは、区間

$$ -\frac{\sqrt6}{2}<x<\frac{\sqrt6}{2}

$$

では $x$ 軸上にあり、その外側では放物線

$$ y=x^2-\frac32

$$

の部分になる。境界点

$$ x=\pm \frac{\sqrt6}{2}

$$

では $y=0$ であり、この点は外側の放物線部分に含まれる。

解説

この問題の中心は、合成関数の外側にある関数の定義域分けを正しく追うことである。

$(g\circ f)(x)$ では、まず $f(x)$ を求め、その値を $g$ に代入する。$g$ は通常の二次関数なので、$f(x)$ の3つの場合分けをそのまま使えばよい。

一方、$(f\circ g)(x)$ では、$g(x)$ の値が $f$ のどの区間に入るかを調べる必要がある。ここで $g(x)=x^2-\dfrac12\geqq -\dfrac12$ であるため、$g(x)<-1$ の場合が存在しない点が重要である。

答え

**(1)**

$$ y=f(x)= \begin{cases} x+1 & (x<-1)\\ 0 & (-1\leqq x<1)\\ x-1 & (1\leqq x) \end{cases}

$$

グラフは、$x<-1$ で直線 $y=x+1$、$-1\leqq x<1$ で $x$ 軸上、$1\leqq x$ で直線 $y=x-1$ である。

**(2)**

$$ (g\circ f)(x)= \begin{cases} (x+1)^2-\dfrac12 & (x<-1)\\ -\dfrac12 & (-1\leqq x<1)\\ (x-1)^2-\dfrac12 & (1\leqq x) \end{cases}

$$

**(3)**

$$ (f\circ g)(x)= \begin{cases} x^2-\dfrac32 & \left(x\leqq -\dfrac{\sqrt6}{2}\right)\\ 0 & \left(-\dfrac{\sqrt6}{2}<x<\dfrac{\sqrt6}{2}\right)\\ x^2-\dfrac32 & \left(\dfrac{\sqrt6}{2}\leqq x\right) \end{cases}

$$