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数学3 関数「合成関数」の問題2 解説

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数学3関数合成関数問題2

解説

合成関数では、外側の関数の $x$ に内側の関数を代入する。ただし、分母が $0$ になる値は定義できないので、定義域にも注意する。

まず $g(f(x))$ を求める。

$g(x)=x+2$ であるから、$g(f(x))$ は $g$ の $x$ に $f(x)$ を代入して

$$ g(f(x))=f(x)+2

となる。よって

$$ \begin{aligned} g(f(x)) &=\frac{2x+3}{x+1}+2 \\ &=\frac{2x+3}{x+1}+\frac{2x+2}{x+1} \\ &=\frac{4x+5}{x+1} \end{aligned}

である。ここで $f(x)$ が定義されるためには $x+1\neq 0$、すなわち $x\neq -1$ が必要である。

次に $f(g(x))$ を求める。

$g(x)=x+2$ であるから、$f(g(x))$ は $f$ の $x$ に $x+2$ を代入して

$$ f(g(x))=f(x+2)

となる。よって

$$ \begin{aligned} f(g(x)) &=\frac{2(x+2)+3}{(x+2)+1} \\ &=\frac{2x+4+3}{x+3} \\ &=\frac{2x+7}{x+3} \end{aligned}

である。ここで分母が $0$ になってはいけないので、$x+3\neq 0$、すなわち $x\neq -3$ が必要である。

合成関数では、$g(f(x))$ と $f(g(x))$ は一般に異なる。この問題では、$g(x)$ は単に $x$ に $2$ を足す関数なので、$g(f(x))$ は $f(x)+2$ とすればよい。

一方、$f(g(x))$ では、分数関数 $f(x)$ の $x$ に $x+2$ を代入する。分母も同時に置き換えるため、定義できない値が $x=-1$ ではなく $x=-3$ に変わる点に注意する。

$$ g(f(x))=\frac{4x+5}{x+1} \quad (x\neq -1)

$$ f(g(x))=\frac{2x+7}{x+3} \quad (x\neq -3)