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数学3 関数「合成関数」の問題3 解説

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数学3関数合成関数問題3

解説

合成関数は、内側の関数の結果を外側の関数の $x$ に代入して求める。

$f^{-1}(x)$ が出てくる部分では、まず $f(x)=x+1$ の逆関数を求めてから $g$ に代入する。

まず、$f(f(x))$ を求める。

$f(x)=x+1$ であるから、外側の $f$ の $x$ に $f(x)=x+1$ を代入すると、

$$ f(f(x))=f(x+1)=(x+1)+1=x+2

となる。

次に、$f(g(x))$ を求める。

$g(x)=\dfrac{1}{x}$ であるから、外側の $f$ の $x$ に $g(x)=\dfrac{1}{x}$ を代入すると、

$$ f(g(x))=f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{x}+1

よって、

$$ f(g(x))=\frac{x+1}{x}

である。ただし、$g(x)$ が定義されるために $x\neq 0$ である。

最後に、$g(f^{-1}(x))$ を求める。

$f(x)=x+1$ より、$y=x+1$ とおくと、

$$ x=y-1

である。したがって、

$$ f^{-1}(x)=x-1

となる。

これを $g(x)=\dfrac{1}{x}$ に代入すると、

$$ g(f^{-1}(x))=g(x-1)=\frac{1}{x-1}

となる。ただし、分母が $0$ になってはいけないので $x\neq 1$ である。

この問題では、合成関数の「内側から順に代入する」という基本操作が重要である。

$f(f(x))$ では $f(x)=x+1$ をもう一度 $f$ に入れる。$f(g(x))$ では $g(x)=\dfrac{1}{x}$ を $f$ に入れる。$g(f^{-1}(x))$ では、先に $f^{-1}(x)$ を求める必要がある。

特に $g(x)=\dfrac{1}{x}$ は分母が $0$ になる値では定義されないため、定義域の条件にも注意する。

$$ \text{ア}=x+2

$$ \text{イ}=\frac{x+1}{x}

$$ \text{サ}=\frac{1}{x-1}