解説

方針・初手

合成関数 $f(f(x))$ は、$f(x)$ をもう一度 $f$ に代入して求める。

ここで $f(x)$ が定義されるには $x \neq 1$ が必要である。また、$f(f(x))$ を考えるには $f(x) \neq 1$ も必要だが、

$$ f(x)=1+\frac{1}{x-1}

$$

より $f(x)=1$ となることはない。したがって、$f(f(x))$ は $x \neq 1$ のもとで定義される。

解法1

$f(x)-1$ を計算すると、

$$ f(x)-1=\frac{1}{x-1}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} f(f(x)) &=1+\frac{1}{f(x)-1} \\ &=1+\frac{1}{\frac{1}{x-1}} \\ &=1+x-1 \\ &=x \end{aligned}

$$

となる。

よって、$x \neq 1$ のとき、

$$ f(f(x))=x

$$

である。

次に、方程式

$$ f(f(x))=f(x)

$$

を解く。

先ほど求めた $f(f(x))=x$ を用いると、

$$ x=f(x)

$$

すなわち

$$ x=1+\frac{1}{x-1}

$$

を解けばよい。ただし $x \neq 1$ である。

両辺から $1$ を引くと、

$$ x-1=\frac{1}{x-1}

$$

である。$x \neq 1$ より $x-1 \neq 0$ なので、両辺に $x-1$ をかけてよい。

$$ (x-1)^2=1

$$

したがって、

$$ x-1=\pm 1

$$

より、

$$ x=0,\ 2

$$

である。どちらも $x \neq 1$ を満たすので解として適する。

解説

この関数は

$$ f(x)-1=\frac{1}{x-1}

$$

となるため、もう一度 $f$ を作用させると逆数が元に戻り、$f(f(x))=x$ となる。

つまり、この関数は同じ操作を2回行うと元に戻る形になっている。したがって、方程式 $f(f(x))=f(x)$ は、実質的に $x=f(x)$ を解く問題になる。

注意点は、分母に $x-1$ があるため、常に $x \neq 1$ を確認することである。

答え

$x \neq 1$ のとき、

$$ f(f(x))=x

$$

また、

$$ f(f(x))=f(x)

$$

を満たす $x$ は

$$ x=0,\ 2

$$

である。