解説

方針・初手

分数関数

$$ f_q(x)=\frac{x-q}{1-qx}

$$

では、まず分母 $1-qx$ が正であることを確認する。そのうえで、分母が正であることを利用して、$-1<f_q(x)<1$ を通常の不等式変形で示す。

合成については、直接代入して整理すると同じ形の関数になる。最後の条件は、合成後のパラメータが $q$ と一致することに帰着させる。

解法1

まず $-1<q<1,\ -1<x<1$ より $|qx|<1$ であるから、

$$ 1-qx>0

$$

である。したがって不等式変形で分母の符号を反転させる必要はない。

上側の不等式を示す。

$$ f_q(x)<1

$$

は

$$ \frac{x-q}{1-qx}<1

$$

と同値であり、$1-qx>0$ より

$$ x-q<1-qx

$$

である。これを整理すると、

$$ x+qx<1+q

$$

すなわち

$$ (1+q)x<1+q

$$

である。ここで $1+q>0$ かつ $x<1$ だから、この不等式は成り立つ。

次に下側の不等式を示す。

$$ -1<f_q(x)

$$

は

$$ -1<\frac{x-q}{1-qx}

$$

と同値であり、$1-qx>0$ より

$$ -(1-qx)<x-q

$$

である。これを整理すると、

$$ 0<x-q+1-qx

$$

すなわち

$$ 0<(1-q)(1+x)

$$

である。ここで $1-q>0$ かつ $1+x>0$ だから、この不等式は成り立つ。

よって、定義域内のすべての $x$ に対して

$$ -1<f_q(x)<1

$$

である。

次に合成関数を計算する。$y=f_q(x)$ とおくと、

$$ \begin{aligned} f_p(f_q(x)) &= \frac{f_q(x)-p}{1-pf_q(x)} \end{aligned} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} f_p(f_q(x)) &= \frac{\dfrac{x-q}{1-qx}-p}{1-p\dfrac{x-q}{1-qx}}\\ &= \frac{x-q-p(1-qx)}{1-qx-p(x-q)}\\ &= \frac{x-q-p+pqx}{1-qx-px+pq}\\ &= \frac{(1+pq)x-(p+q)}{1+pq-(p+q)x}. \end{aligned}

$$

ここで $-1<p<1,\ -1<q<1$ より $pq>-1$ だから、

$$ 1+pq>0

$$

である。したがって分子・分母を $1+pq$ で割ると、

$$ \begin{aligned} f_p(f_q(x)) &= \frac{x-\dfrac{p+q}{1+pq}}{1-\dfrac{p+q}{1+pq}x} \end{aligned} $$

となる。よって

$$ r=\frac{p+q}{1+pq}

$$

である。

この $r$ が $-1<r<1$ を満たすことを示す。$1+pq>0$ なので、

$$ r<1

$$

は

$$ p+q<1+pq

$$

と同値である。これは

$$ 1+pq-p-q=(1-p)(1-q)>0

$$

より成り立つ。

また、

$$ -1<r

$$

は

$$ -(1+pq)<p+q

$$

と同値である。これは

$$ 1+pq+p+q=(1+p)(1+q)>0

$$

より成り立つ。

したがって

$$ -1<r<1

$$

である。

最後に、

$$ f_p(f_q(x))=f_q(x)

$$

が定義域内のすべての $x$ で成り立つ条件を求める。

上で求めた結果より、

$$ f_p(f_q(x))=f_r(x)

$$

ただし

$$ r=\frac{p+q}{1+pq}

$$

である。したがって条件は

$$ f_r(x)=f_q(x)

$$

がすべての $x$ で成り立つことである。

特に $x=0$ を代入すると、

$$ f_r(0)=-r,\qquad f_q(0)=-q

$$

であるから、

$$ r=q

$$

が必要である。よって

$$ \frac{p+q}{1+pq}=q

$$

を解けばよい。

両辺に $1+pq$ をかけると、

$$ p+q=q(1+pq)

$$

である。これを整理すると、

$$ p+q=q+pq^2

$$

だから、

$$ p(1-q^2)=0

$$

となる。

ここで $-1<q<1$ より $1-q^2>0$ であるから、

$$ p=0

$$

である。

実際、$p=0$ のとき

$$ f_0(y)=\frac{y}{1}=y

$$

であるから、

$$ f_0(f_q(x))=f_q(x)

$$

がすべての $x$ で成り立つ。したがって求める値は $p=0$ である。

解説

この問題の中心は、関数

$$ f_a(x)=\frac{x-a}{1-ax}

$$

が、$-1<a<1$ のもとで区間 $(-1,1)$ をそれ自身に移すこと、さらに合成しても同じ形を保つことである。

(1) では、分母 $1-qx$ が正であることを最初に確認するのが重要である。これを確認しないまま不等式を変形すると、符号反転の条件が抜ける。

(2) では、合成後の式を

$$ \frac{x-r}{1-rx}

$$

の形にそろえるために、分子・分母を $1+pq$ で割る。ここで $1+pq>0$ であることも必要である。

(3) では、合成の結果が $f_r(x)$ になることを利用すれば、$f_r(x)=f_q(x)$ に帰着できる。全ての $x$ で等しいので、特に $x=0$ を代入して $r=q$ を得るのが最も短い。

答え

**(1)**

$$ -1<f_q(x)<1

$$

が定義域内のすべての $x$ に対して成り立つ。

**(2)**

$$ r=\frac{p+q}{1+pq}

$$

であり、

$$ -1<r<1

$$

である。

**(3)**

$$ p=0

$$