解説

方針・初手

$f^{-1}$ は逆関数を表す。まず $y=f(x)$ とおいて、$x$ を $y$ で表す。

ここで

$$ f(x)=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}}

$$

であり、$0\leq x\leq 1$ では $f(x)$ は $0$ から $1$ まで増加するので、この範囲で逆関数を考えればよい。

解法1

$$ y=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}}

$$

とおく。両辺を平方すると、

$$ y^2=\frac{2x^2}{1+x^2}

$$

である。分母を払って整理すると、

$$ y^2(1+x^2)=2x^2

$$

より、

$$ y^2=(2-y^2)x^2

$$

となる。

$0\leq x\leq 1$、$0\leq y\leq 1$ を考えているので、$x\geq 0$ である。したがって、

$$ x=\frac{y}{\sqrt{2-y^2}}

$$

である。よって、逆関数は

$$ f^{-1}(y)=\frac{y}{\sqrt{2-y^2}}

$$

である。

したがって、求める積分は

$$ \begin{aligned} \int_0^1 f^{-1}(x),dx &= \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2-x^2}},dx \end{aligned} $$

となる。

ここで、$u=2-x^2$ とおくと、

$$ du=-2x,dx

$$

であるから、

$$ \begin{aligned} \int \frac{x}{\sqrt{2-x^2}},dx &= -\sqrt{2-x^2} \end{aligned} $$

となる。よって、

$$ \begin{aligned} \int_0^1 \frac{x}{\sqrt{2-x^2}},dx &= \left[-\sqrt{2-x^2}\right]_0^1 \end{aligned} $$

である。

計算すると、

$$ \begin{aligned} \left[-\sqrt{2-x^2}\right]_0^1 &= -\sqrt{1}+\sqrt{2} \\ \sqrt{2}-1 \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題では、$f^{-1}$ を逆関数として扱うことが重要である。直接、逆関数の積分を考える前に、まず $y=f(x)$ から $x$ を $y$ で表せばよい。

また、

$$ f(x)=\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1+x^2}}

$$

は $0\leq x\leq 1$ で $0\leq f(x)\leq 1$ となるため、積分区間 $0\leq x\leq 1$ に対応する逆関数が自然に定まる。

答え

$$ \boxed{\sqrt{2}-1}

$$