解説

方針・初手

逆関数を直接求め、それが元の関数

$$ f(x)=\frac{cx+d}{ax+b}

$$

と一致する条件を、係数比較によって求める。

解法1

まず

$$ y=\frac{cx+d}{ax+b}

$$

とおく。両辺に $ax+b$ をかけると

$$ y(ax+b)=cx+d

$$

であるから、

$$ (ay-c)x=d-by

$$

となる。したがって逆関数は

$$ f^{-1}(x)=\frac{d-bx}{ax-c}

$$

である。

これが $f(x)$ と一致するためには、

$$ \frac{cx+d}{ax+b}=\frac{d-bx}{ax-c}

$$

が恒等的に成り立てばよい。よって分母が 0 でない範囲で両辺を交差にかけると、

$$ (cx+d)(ax-c)=(d-bx)(ax+b)

$$

となる。

両辺を展開すると、

$$ acx^2+(ad-c^2)x-cd=-abx^2+(ad-b^2)x+bd

$$

である。係数を比較して、

$$ a(b+c)=0,\qquad b^2-c^2=0,\qquad d(b+c)=0

$$

を得る。

ここで

$$ b^2-c^2=(b+c)(b-c)

$$

であるから、場合分けする。

**(i)**

$b+c=0$ のとき

このとき $c=-b$ であり、上の 3 条件はすべて満たされる。

ただし問題の条件より

$$ ad-bc\ne0

$$

でなければならない。$c=-b$ を代入すると、

$$ ad-bc=ad+b^2

$$

であるから、

$$ ad+b^2\ne0

$$

が必要である。

したがって、この場合の条件は

$$ c=-b,\qquad ad+b^2\ne0

$$

である。

**(ii)**

$b-c=0$ のとき

このとき $b=c$ である。さらに $b+c\ne0$ の場合を考えると、

$$ a(b+c)=0,\qquad d(b+c)=0

$$

より

$$ a=0,\qquad d=0

$$

でなければならない。

このとき問題の条件 $ad-bc\ne0$ は

$$ -b^2\ne0

$$

となるので、

$$ b\ne0

$$

である。したがって

$$ a=d=0,\qquad b=c\ne0

$$

を得る。

なお、$b-c=0$ かつ $b+c=0$ の場合は $b=c=0$ であり、これは （i） の $c=-b$ に含まれる。

解説

逆関数と元の関数が一致するとは、関数として同じ式になるということである。そのため、まず逆関数を明示的に求めてから、分数式の恒等式として係数比較するのが最も直接的である。

途中で得られる条件

$$ a(b+c)=0,\qquad b^2-c^2=0,\qquad d(b+c)=0

$$

をそのまま答えとしてもよいが、問題では $ad-bc\ne0$ も与えられているため、最終的には場合分けして整理する必要がある。

答え

求める条件は次のいずれかである。

$$ \boxed{c=-b,\qquad ad+b^2\ne0}

$$

または

$$ \boxed{a=d=0,\qquad b=c\ne0}

$$