解説

方針・初手

$f(x)$ は絶対値の中身 $2x-4$ の符号で場合分けする。境目は $x=2$ である。

また、(2) の不等式は $f(x),g(x)$ を具体的に代入して計算してもよいが、

$$ |2y+f(x)+g(x)|\le |f(x)-g(x)|

$$

を

$$ \left|y+\frac{f(x)+g(x)}{2}\right|\le \frac{|f(x)-g(x)|}{2}

$$

と見ると、$y$ は $-f(x)$ と $-g(x)$ の間にあることが分かる。

解法1

まず $f(x)$ を場合分けする。

$x<2$ のとき、$|2x-4|=-(2x-4)$ であるから、

$$ f(x)=-3x-(2x-4)+8=-5x+12

$$

である。

$x\geqq 2$ のとき、$|2x-4|=2x-4$ であるから、

$$ f(x)=-3x+(2x-4)+8=-x+4

$$

である。

したがって

$$ f(x)= \begin{cases} -5x+12 & (x<2),\\ -x+4 & (x\geqq 2) \end{cases}

$$

である。

この関数は全体として単調減少であり、値域は実数全体であるから逆関数をもつ。

$y=f(x)$ とおく。

$x<2$ の部分では

$$ y=-5x+12

$$

より

$$ x=\frac{12-y}{5}

$$

である。このとき $x<2$ なので、

$$ \frac{12-y}{5}<2

$$

より

$$ y>2

$$

である。

したがって、逆関数では $x>2$ の範囲で

$$ g(x)=\frac{12-x}{5}

$$

となる。

次に、$x\geqq 2$ の部分では

$$ y=-x+4

$$

より

$$ x=4-y

$$

である。このとき $x\geqq 2$ なので、

$$ 4-y\geqq 2

$$

より

$$ y\leqq 2

$$

である。

したがって、逆関数では $x\leqq 2$ の範囲で

$$ g(x)=4-x

$$

となる。

よって

$$ g(x)= \begin{cases} 4-x & (x\leqq 2),\\ \dfrac{12-x}{5} & (x>2) \end{cases}

$$

である。

次に、(2) を考える。

与えられた不等式は

$$ |2y+f(x)+g(x)|\le |f(x)-g(x)|

$$

である。両辺を $2$ で割る形に直すと、

$$ \left|y+\frac{f(x)+g(x)}{2}\right|\le \frac{|f(x)-g(x)|}{2}

$$

である。

これは、$y$ が

$$ -\frac{f(x)+g(x)}{2}

$$

を中心として、半径

$$ \frac{|f(x)-g(x)|}{2}

$$

以内にあることを表す。

したがって、$y$ は $-f(x)$ と $-g(x)$ の間にある。すなわち

$$ \min{-f(x),-g(x)}\le y\le \max{-f(x),-g(x)}

$$

である。

ここで、$x$ の範囲で場合分けする。

**(i)**

$x\leqq 2$ のとき

この範囲では

$$ f(x)=-5x+12,\qquad g(x)=4-x

$$

である。ただし $x=2$ でも両式は同じ値を与える。

したがって

$$ -f(x)=5x-12,\qquad -g(x)=x-4

$$

である。

$x\leqq 2$ のとき

$$ 5x-12\le x-4

$$

であるから、領域は

$$ 5x-12\le y\le x-4

$$

である。

**(ii)**

$x\geqq 2$ のとき

この範囲では

$$ f(x)=-x+4,\qquad g(x)=\frac{12-x}{5}

$$

である。

したがって

$$ -f(x)=x-4,\qquad -g(x)=\frac{x-12}{5}

$$

である。

$x\geqq 2$ のとき

$$ \frac{x-12}{5}\le x-4

$$

であるから、領域は

$$ \frac{x-12}{5}\le y\le x-4

$$

である。

よって求める領域は

$$ \begin{cases} x\leqq 2,\quad 5x-12\le y\le x-4,\\ x\geqq 2,\quad \dfrac{x-12}{5}\le y\le x-4 \end{cases}

$$

である。

図示するときは、境界線

$$ y=5x-12,\qquad y=x-4,\qquad y=\frac{x-12}{5}

$$

を考える。ただし、$y=5x-12$ は $x\leqq 2$ 側、$y=\dfrac{x-12}{5}$ は $x\geqq 2$ 側で用いる。いずれも境界を含むので実線で描く。

3本の境界はいずれも点

$$ (2,-2)

$$

を通る。$x\leqq 2$ では $y=5x-12$ と $y=x-4$ の間、$x\geqq 2$ では $y=\dfrac{x-12}{5}$ と $y=x-4$ の間を塗ればよい。

解説

この問題の中心は、逆関数を求める際に、元の $x$ の範囲が逆関数の定義の範囲に入れ替わる点である。

$f(x)$ は $x=2$ を境に式が変わるが、単調減少でつながっているため、逆関数は存在する。逆関数 $g(x)$ も $x=2$ を境に式が変わる。

(2) はそのまま代入して絶対値不等式を処理しても解けるが、

$$ |2y+f(x)+g(x)|\le |f(x)-g(x)|

$$

を

$$ \left|y+\frac{f(x)+g(x)}{2}\right|\le \frac{|f(x)-g(x)|}{2}

$$

と変形すると、$y$ が $-f(x)$ と $-g(x)$ の間にあるという幾何的意味が見える。この見方を使うと、領域の境界がすぐに分かる。

答え

**(1)**

$$ g(x)= \begin{cases} 4-x & (x\leqq 2),\\ \dfrac{12-x}{5} & (x>2) \end{cases}

$$

**(2)**

求める領域は

$$ \begin{cases} x\leqq 2,\quad 5x-12\le y\le x-4,\\ x\geqq 2,\quad \dfrac{x-12}{5}\le y\le x-4 \end{cases}

$$

である。