解説

方針・初手

逆関数を求める問題では、まず $y=f(x)$ とおき、$x$ について解く。その後、$x$ と $y$ を入れ替えればよい。

ただし、もとの関数 $f(x)=\log_2(3x+4)$ は対数の中身が正である必要があるため、定義域は $x>-\dfrac{4}{3}$ である。

解法1

$y=f(x)$ とおくと、

$$ y=\log_2(3x+4)

$$

である。

対数の定義より、

$$ 3x+4=2^y

$$

となる。これを $x$ について解くと、

$$ 3x=2^y-4

$$

したがって、

$$ x=\frac{2^y-4}{3}

$$

である。

ここで、逆関数を求めるために $x$ と $y$ を入れ替えると、

$$ y=\frac{2^x-4}{3}

$$

となる。

よって、

$$ f^{-1}(x)=\frac{2^x-4}{3}

$$

である。

また、もとの関数 $f(x)=\log_2(3x+4)$ の値域は実数全体であるため、逆関数 $f^{-1}(x)$ の定義域は実数全体である。

解説

逆関数を求めるときは、「$y=f(x)$ とおいて $x$ について解く」という手順が基本である。

今回のような対数関数では、対数の形を指数の形に直すことが重要である。

$$ y=\log_2(3x+4)

$$

は、

$$ 3x+4=2^y

$$

と変形できる。ここから $x$ を孤立させれば逆関数が得られる。

答え

$$ f^{-1}(x)=\frac{2^x-4}{3}

$$

ただし、$f^{-1}(x)$ の定義域は実数全体である。