解説

方針・初手

指数の底を $2$ にそろえる。特に $4^{x+1}=2^{2x+2}$ とし、$t=2^x$ とおけば、式全体が $t$ の有理式になる。

解法1

$4^{x+1}$ を $2$ の指数で表すと、

$$ 4^{x+1}=(2^2)^{x+1}=2^{2x+2}

$$

である。ここで

$$ t=2^x

$$

とおくと、$t>0$ であり、

$$ 2^{3x}=t^3,\quad 4^{x+1}=2^{2x+2}=4t^2,\quad 2^{x+2}=4t

$$

となる。

したがって、与えられた式は

$$ y=\frac{t^3+4t^2+4t}{t+2}

$$

である。分子を因数分解すると、

$$ t^3+4t^2+4t=t(t^2+4t+4)=t(t+2)^2

$$

だから、

$$ y=\frac{t(t+2)^2}{t+2}=t(t+2)

$$

となる。よって、

$$ y=2^x(2^x+2)

$$

である。展開して

$$ y=4^x+2^{x+1}

$$

としてもよい。

次に逆関数を求める。$t=2^x>0$ とすると、

$$ y=t(t+2)=t^2+2t

$$

である。平方完成すると、

$$ y=(t+1)^2-1

$$

したがって、

$$ (t+1)^2=y+1

$$

である。ここで $t>0$ より $t+1>1$ だから、

$$ t+1=\sqrt{y+1}

$$

をとる。よって、

$$ t=\sqrt{y+1}-1

$$

である。

$t=2^x$ であったから、

$$ 2^x=\sqrt{y+1}-1

$$

両辺の底 $2$ の対数をとると、

$$ x=\log_2(\sqrt{y+1}-1)

$$

である。したがって、逆関数は

$$ y=\log_2(\sqrt{x+1}-1)

$$

である。

元の関数は $t>0$ に対して

$$ y=t^2+2t

$$

であり、$t>0$ では $y>0$ である。よって、逆関数の定義域は $x>0$ である。

解説

指数関数の式では、底をそろえて $2^x$ をひとつの文字に置き換えるのが基本である。この問題では分子が

$$ t^3+4t^2+4t=t(t+2)^2

$$

と因数分解でき、分母の $t+2$ と約分できる形になっている。

逆関数を求めるときは、単に $x$ と $y$ を入れ替えるだけではなく、元の関数の値域を確認する必要がある。ここでは $t=2^x>0$ なので、元の関数の値域は $y>0$ であり、逆関数の定義域は $x>0$ となる。

答え

簡単にすると、

$$ y=2^x(2^x+2)=4^x+2^{x+1}

$$

逆関数は、

$$ y=\log_2(\sqrt{x+1}-1)\quad (x>0)

$$