解説

方針・初手

逆関数は、まず $y=\sqrt{x+2}$ とおいて $x$ と $y$ を入れ替えることで求める。

図形については、3つの境界

$$ y=\sqrt{x+2},\qquad y=x^2-2,\qquad y=\sqrt{2}-x

$$

の交点をすべて求める。面積は、縦に切ると下側の境界が $x=\sqrt{2}$ を境に変わるため、そこで積分を分ける。

解法1

**(1)**

$y=g(x)$ とおくと、

$$ y=\sqrt{x+2}

$$

である。ここで $g(x)\geqq 0$ だから、値域は

$$ y\geqq 0

$$

である。

両辺を2乗すると、

$$ y^2=x+2

$$

より、

$$ x=y^2-2

$$

である。$x$ と $y$ を入れ替えると、

$$ g^{-1}(x)=x^2-2

$$

となる。

ただし、逆関数の定義域はもとの関数 $g(x)$ の値域であるから、

$$ x\geqq 0

$$

である。したがって、

$$ g^{-1}(x)=x^2-2\quad (x\geqq 0)

$$

である。

(2) まず、3つの曲線・直線の交点を求める。

$y=g(x)$ と $y=g^{-1}(x)$ の交点は、

$$ \sqrt{x+2}=x^2-2

$$

を満たす点である。右辺が $0$ 以上である必要があるので、

$$ x^2-2\geqq 0

$$

より、ここでは $x\geqq \sqrt{2}$ を考える。

両辺を2乗すると、

$$ x+2=(x^2-2)^2

$$

すなわち、

$$ x^4-4x^2-x+2=0

$$

である。因数分解すると、

$$ (x-2)(x+1)(x^2+x-1)=0

$$

となる。条件 $x\geqq \sqrt{2}$ を満たすのは $x=2$ のみである。

したがって、

$$ y=\sqrt{2+2}=2

$$

より、交点は

$$ (2,2)

$$

である。

次に、$y=g(x)$ と直線 $y=\sqrt{2}-x$ の交点を求める。

$$ \sqrt{x+2}=\sqrt{2}-x

$$

であり、右辺が $0$ 以上である必要があるので、

$$ x\leqq \sqrt{2}

$$

である。両辺を2乗すると、

$$ x+2=(\sqrt{2}-x)^2

$$

より、

$$ x+2=2-2\sqrt{2}x+x^2

$$

したがって、

$$ x^2-(1+2\sqrt{2})x=0

$$

となる。よって、

$$ x=0,\quad x=1+2\sqrt{2}

$$

であるが、$x\leqq \sqrt{2}$ を満たすのは $x=0$ のみである。

したがって交点は、

$$ (0,\sqrt{2})

$$

である。

最後に、$y=g^{-1}(x)$ と直線 $y=\sqrt{2}-x$ の交点を求める。

$$ x^2-2=\sqrt{2}-x

$$

より、

$$ x^2+x-(2+\sqrt{2})=0

$$

である。これは

$$ (x-\sqrt{2})(x+1+\sqrt{2})=0

$$

と因数分解できる。$g^{-1}(x)$ の定義域は $x\geqq 0$ であるから、

$$ x=\sqrt{2}

$$

である。

このとき、

$$ y=\sqrt{2}-\sqrt{2}=0

$$

より、交点は

$$ (\sqrt{2},0)

$$

である。

したがって、囲まれる図形は、3点

$$ (0,\sqrt{2}),\quad (\sqrt{2},0),\quad (2,2)

$$

を結ぶ曲線三角形である。

具体的には、境界は次の3つである。

• $(0,\sqrt{2})$ から $(2,2)$ までの $y=\sqrt{x+2}$
• $(\sqrt{2},0)$ から $(2,2)$ までの $y=x^2-2$
• $(0,\sqrt{2})$ から $(\sqrt{2},0)$ までの直線 $y=\sqrt{2}-x$

(3) 面積を $S$ とする。

縦に切って考えると、$0\leqq x\leqq \sqrt{2}$ では、上側が $y=\sqrt{x+2}$、下側が $y=\sqrt{2}-x$ である。

また、$\sqrt{2}\leqq x\leqq 2$ では、上側が $y=\sqrt{x+2}$、下側が $y=x^2-2$ である。

よって、

$$ S=\int_0^{\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}-(\sqrt{2}-x)},dx +\int_{\sqrt{2}}^2{\sqrt{x+2}-(x^2-2)},dx

$$

である。

まとめて計算すると、

$$ S=\int_0^2\sqrt{x+2},dx-\int_0^{\sqrt{2}}(\sqrt{2}-x),dx-\int_{\sqrt{2}}^2(x^2-2),dx

$$

である。

それぞれ計算する。

まず、

$$ \int_0^2\sqrt{x+2},dx =\left[\frac{2}{3}(x+2)^{3/2}\right]_0^2 =\frac{2}{3}(8-2\sqrt{2}) =\frac{16-4\sqrt{2}}{3}

$$

である。

次に、

$$ \int_0^{\sqrt{2}}(\sqrt{2}-x),dx =\left[\sqrt{2}x-\frac{x^2}{2}\right]_0^{\sqrt{2}} =2-1 =1

$$

である。

また、

$$ \int_{\sqrt{2}}^2(x^2-2),dx =\left[\frac{x^3}{3}-2x\right]_{\sqrt{2}}^2 =\frac{4\sqrt{2}-4}{3}

$$

である。

したがって、

$$ \begin{aligned} S &=\frac{16-4\sqrt{2}}{3}-1-\frac{4\sqrt{2}-4}{3}\\ &=\frac{16-4\sqrt{2}-3-4\sqrt{2}+4}{3}\\ &=\frac{17-8\sqrt{2}}{3} \end{aligned}

$$

である。

解説

この問題の中心は、逆関数の定義域を正しく扱うことである。

$g(x)=\sqrt{x+2}$ の定義域は $x\geqq -2$ であるが、逆関数 $g^{-1}(x)$ の定義域は $g(x)$ の値域で決まる。したがって、$g^{-1}(x)=x^2-2$ としたあとに、必ず $x\geqq 0$ を付ける必要がある。

また、面積計算では、1本の積分で処理しようとすると下側の境界を誤りやすい。交点 $(\sqrt{2},0)$ を境に、下側が直線から放物線に切り替わるため、$x=\sqrt{2}$ で積分を分けるのが自然である。

答え

**(1)**

$$ g^{-1}(x)=x^2-2\quad (x\geqq 0)

$$

定義域は

$$ x\geqq 0

$$

である。

**(2)**

囲まれる図形は、3点

$$ (0,\sqrt{2}),\quad (\sqrt{2},0),\quad (2,2)

$$

を境界点とする曲線三角形である。

境界は、

$$ y=\sqrt{x+2},\qquad y=x^2-2,\qquad y=\sqrt{2}-x

$$

である。

**(3)**

面積は

$$ \frac{17-8\sqrt{2}}{3}

$$

である。