解説

方針・初手

平方根を含む方程式なので、まず定義域と右辺の符号を確認する。

左辺 $\sqrt{-2x+3}$ は常に $0$ 以上であるため、右辺 $-\dfrac{1}{x}$ も $0$ 以上でなければならない。この条件を確認してから両辺を平方する。

解法1

方程式

$$ \sqrt{-2x+3}=-\frac{1}{x}

$$

を考える。

まず、平方根が定義されるためには

$$ -2x+3\geqq 0

$$

より、

$$ x\leqq \frac{3}{2}

$$

である。また、右辺に $x$ が分母にあるので $x\neq 0$ である。

さらに、左辺は $0$ 以上であるから、

$$ -\frac{1}{x}\geqq 0

$$

が必要である。したがって、

$$ x<0

$$

でなければならない。

この条件のもとで両辺を平方すると、

$$ -2x+3=\frac{1}{x^2}

$$

となる。ここで $x\neq 0$ なので、両辺に $x^2$ をかけて

$$ (-2x+3)x^2=1

$$

すなわち

$$ -2x^3+3x^2=1

$$

である。整理すると、

$$ 2x^3-3x^2+1=0

$$

となる。

左辺を因数分解する。

$$ 2x^3-3x^2+1=(x-1)^2(2x+1)

$$

よって、

$$ (x-1)^2(2x+1)=0

$$

より、

$$ x=1,\quad x=-\frac{1}{2}

$$

を得る。

ただし、先に求めた必要条件は $x<0$ であるから、$x=1$ は不適である。

残る $x=-\dfrac{1}{2}$ を元の方程式に代入すると、

$$ \sqrt{-2\left(-\frac{1}{2}\right)+3}=\sqrt{4}=2

$$

また、

$$ -\frac{1}{-\frac{1}{2}}=2

$$

となり、確かに成り立つ。

したがって、解は

$$ x=-\frac{1}{2}

$$

である。

解説

平方根を含む方程式では、両辺を平方すると余分な解が出ることがある。特にこの問題では、左辺が常に $0$ 以上であるため、右辺 $-\dfrac{1}{x}$ も $0$ 以上でなければならない。

この符号条件から $x<0$ が先に分かるので、平方後に得られる $x=1$ を除外できる。平方する前の条件確認が重要である。

答え

$$ x=-\frac{1}{2}

$$