解説

方針・初手

平方根を含む不等式では、まず根号内の条件を確認する。また、左辺 $-\sqrt{3x+4}$ は常に $0$ 以下であるため、右辺 $4x-2$ が $0$ 以上なら不等式は成り立たない。この符号条件を先に使うと、安全に両辺を平方できる形になる。

解法1

まず、根号内より

$$ 3x+4 \geqq 0

$$

であるから、

$$ x \geqq -\frac{4}{3}

$$

が必要である。

また、

$$ -\sqrt{3x+4} \leqq 0

$$

である。したがって、もし $4x-2 \geqq 0$ なら

$$ -\sqrt{3x+4} > 4x-2

$$

は成り立たない。よって、解となるためには

$$ 4x-2 < 0

$$

すなわち

$$ x < \frac{1}{2}

$$

が必要である。

このとき $2-4x>0$ であり、もとの不等式

$$ -\sqrt{3x+4} > 4x-2

$$

の両辺に $-1$ をかけると、不等号の向きが変わって

$$ \sqrt{3x+4} < 2-4x

$$

となる。

ここで両辺はともに $0$ 以上なので、両辺を平方してよい。よって

$$ 3x+4 < (2-4x)^2

$$

である。右辺を展開すると

$$ 3x+4 < 16x^2-16x+4

$$

となるから、

$$ 0 < 16x^2-19x

$$

すなわち

$$ x(16x-19)>0

$$

である。

したがって

$$ x<0,\quad \frac{19}{16}<x

$$

となる。

ただし、最初に得た条件

$$ x \geqq -\frac{4}{3},\quad x<\frac{1}{2}

$$

も満たす必要がある。これらを合わせると

$$ -\frac{4}{3} \leqq x<0

$$

である。

解説

平方根を含む不等式で両辺を平方するときは、両辺が同符号であることを確認する必要がある。この問題では、いきなり平方すると余分な解を含む危険がある。

左辺 $-\sqrt{3x+4}$ が常に $0$ 以下であることに注目し、まず $4x-2<0$ を導くのが重要である。これにより、$\sqrt{3x+4}<2-4x$ の右辺が正であることが保証され、平方しても同値変形として処理できる。

答え

$$ -\frac{4}{3} \leqq x<0

$$