解説

方針・初手

平方根を含む方程式では、根号の中身だけでなく、右辺が $0$ 以上であることから左辺 $t$ も $0$ 以上でなければならない。

ただし、この問題では $x=\sqrt{t-a}$ とおくと、平方による余分な解の混入を避けながら解の個数を数えやすい。

解法1

$x=\sqrt{t-a}$ とおく。平方根の定義より $x\geqq 0$ であり、方程式

$$ t=2\sqrt{t-a}

$$

は

$$ t=2x

$$

と表せる。

また、$x=\sqrt{t-a}$ より

$$ x^2=t-a

$$

である。ここに $t=2x$ を代入すると、

$$ x^2=2x-a

$$

すなわち

$$ x^2-2x+a=0

$$

を得る。平方完成すると、

$$ (x-1)^2=1-a

$$

である。

ここで $x\geqq 0$ を満たす解の個数を数えればよい。$t=2x$ であるから、異なる $x$ は異なる $t$ に対応する。

**(i)**

$a>1$ のとき

右辺 $1-a$ が負であるから、

$$ (x-1)^2=1-a

$$

を満たす実数 $x$ は存在しない。したがって、実数解は $0$ 個である。

**(ii)**

$a=1$ のとき

$$ (x-1)^2=0

$$

より

$$ x=1

$$

である。これは $x\geqq 0$ を満たすので、実数解は $1$ 個である。

**(iii)**

$a<1$ のとき

$$ x=1\pm \sqrt{1-a}

$$

である。ここで

$$ \sqrt{1-a}>0

$$

である。

一方、

$$ x=1+\sqrt{1-a}

$$

は常に正であるから、必ず $1$ 個の解を与える。

もう一方の

$$ x=1-\sqrt{1-a}

$$

について調べる。

$$ 1-\sqrt{1-a}\geqq 0

$$

となる条件は

$$ \sqrt{1-a}\leqq 1

$$

であり、両辺は $0$ 以上なので平方して

$$ 1-a\leqq 1

$$

すなわち

$$ a\geqq 0

$$

である。

したがって、$a<1$ の範囲では、$0\leqq a<1$ のとき $2$ 個、$a<0$ のとき $1$ 個である。

以上より、解の個数は次のように分類される。

$$ \begin{cases} 0個 & (a>1),\\ 1個 & (a<0 \text{ または } a=1),\\ 2個 & (0\leqq a<1). \end{cases}

$$

解法2

平方して処理してもよい。ただし、平方によって余分な解が入りうるので、最後に条件を確認する必要がある。

方程式

$$ t=2\sqrt{t-a}

$$

の右辺は $0$ 以上であるから、解は必ず

$$ t\geqq 0

$$

を満たす。

両辺を平方すると、

$$ t^2=4(t-a)

$$

であり、

$$ t^2-4t+4a=0

$$

すなわち

$$ (t-2)^2=4(1-a)

$$

である。

まず、実数解をもつには

$$ 1-a\geqq 0

$$

すなわち

$$ a\leqq 1

$$

が必要である。

$a\leqq 1$ のとき、平方後の方程式の解は

$$ t=2\pm 2\sqrt{1-a}

$$

である。

ただし、もとの方程式を満たすには $t\geqq 0$ が必要である。さらに、平方後の方程式

$$ t^2=4(t-a)

$$

を満たす $t$ について、$t\geqq 0$ なら

$$ t=2\sqrt{t-a}

$$

が成り立つ。よって、平方後の解のうち $t\geqq 0$ のものを数えればよい。

まず

$$ t=2+2\sqrt{1-a}

$$

は常に正である。

一方、

$$ t=2-2\sqrt{1-a}

$$

が $0$ 以上となる条件は

$$ 2-2\sqrt{1-a}\geqq 0

$$

すなわち

$$ \sqrt{1-a}\leqq 1

$$

である。これは

$$ a\geqq 0

$$

と同値である。

したがって、$a\leqq 1$ の範囲で、$0\leqq a<1$ のときは $2$ 個、$a<0$ のときは $1$ 個である。また、$a=1$ のときは重解 $t=2$ となるため $1$ 個である。

よって、

$$ \begin{cases} 0個 & (a>1),\\ 1個 & (a<0 \text{ または } a=1),\\ 2個 & (0\leqq a<1) \end{cases}

$$

である。

解説

この問題の要点は、平方根を含む方程式では「平方後の解をそのまま数えてはいけない」という点である。平方すると二次方程式になるが、もとの方程式の右辺が $0$ 以上であるため、左辺の $t$ も $0$ 以上でなければならない。

最も安全なのは、$x=\sqrt{t-a}$ とおいて $x\geqq 0$ の条件つき二次方程式に直す方法である。この置き換えにより、平方による余分な解をほぼ避けることができ、解の個数の変化も $x=1-\sqrt{1-a}$ が $0$ 以上かどうかを見るだけで済む。

答え

$$ \begin{aligned} \text{[ア]}&:\ a>1,\\ \text{[イ]}&:\ a<0 \text{ または } a=1,\\ \text{[ウ]}&:\ 0\leqq a<1. \end{aligned}

$$