解説

方針・初手

平方根関数は中身が大きいほど値も大きくなる。ここでは $a>0$ であり、$-4\leqq x\leqq 0$ において $a-4x>0$ だから、定義域の端で最大値・最小値を調べればよい。

解法1

関数は

$$ y=\sqrt{a-4x}+b

$$

である。

$-4\leqq x\leqq 0$ の範囲で、$x$ が大きくなるほど $a-4x$ は小さくなる。したがって $\sqrt{a-4x}$ も小さくなるので、$y$ はこの区間で減少する。

よって最大値は $x=-4$ のとき、最小値は $x=0$ のときにとる。

最大値が $5$ であるから、

$$ \sqrt{a-4(-4)}+b=5

$$

すなわち

$$ \sqrt{a+16}+b=5

$$

である。

また、最小値が $3$ であるから、

$$ \sqrt{a-4\cdot 0}+b=3

$$

より、

$$ \sqrt{a}+b=3

$$

である。

したがって、連立方程式

$$ \begin{cases} \sqrt{a+16}+b=5 \\ \sqrt{a}+b=3 \end{cases}

$$

を解けばよい。

2式を引くと、

$$ \sqrt{a+16}-\sqrt{a}=2

$$

となる。

ここで $t=\sqrt{a}$ とおく。$a>0$ より $t>0$ であり、

$$ \sqrt{a+16}=\sqrt{t^2+16}

$$

だから、

$$ \sqrt{t^2+16}-t=2

$$

となる。

移項して、

$$ \sqrt{t^2+16}=t+2

$$

両辺は正なので、両辺を2乗してよい。よって、

$$ t^2+16=(t+2)^2

$$

これを展開すると、

$$ t^2+16=t^2+4t+4

$$

したがって、

$$ 4t=12

$$

より、

$$ t=3

$$

である。

$t=\sqrt{a}$ だから、

$$ \sqrt{a}=3

$$

より、

$$ a=9

$$

である。

さらに、$\sqrt{a}+b=3$ に代入すると、

$$ 3+b=3

$$

より、

$$ b=0

$$

である。

解説

この問題では、平方根の中身 $a-4x$ の増減を見ることが重要である。$x$ の範囲が閉区間 $-4\leqq x\leqq 0$ なので、単調性が分かれば最大値・最小値は端点で決まる。

また、$a>0$ であるため、区間内で $a-4x$ は常に正であり、平方根の定義域について追加の心配は不要である。

答え

$$ a=9,\qquad b=0

$$

したがって、

$$ \boxed{[ア]=9,\ [イ]=0}

$$