解説

方針・初手

解の範囲がちょうど $-2\leqq x<2$ であることから、右端 $x=2$ で不等式が成立しないことに注目する。

一方で、$2$ より少し小さい $x$ では不等式が成立しているので、連続性より $x=2$ では境界として等号が成り立つはずである。まずそこから $a,b$ の関係を求める。

解法1

関数

$$ f(x)=\sqrt{x+2}-(ax+b)

$$

を考える。定義域は $x\geqq -2$ である。

解が $-2\leqq x<2$ であるから、$x=2$ では不等式は成立しない。また、$x<2$ で $2$ に十分近いところでは不等式が成立する。

$f(x)$ は連続であるため、$x=2$ で

$$ f(2)=0

$$

でなければならない。したがって

$$ \sqrt{4}-(2a+b)=0

$$

より

$$ 2a+b=2

$$

を得る。よって

$$ b=2-2a

$$

である。

このとき不等式は

$$ \sqrt{x+2}>ax+2-2a

$$

すなわち

$$ \sqrt{x+2}>a(x-2)+2

$$

となる。

ここで

$$ t=\sqrt{x+2}

$$

とおく。$x\geqq -2$ より $t\geqq 0$ であり、

$$ x=t^2-2

$$

である。また、$x<2$ は $t<2$ に対応する。

不等式に代入すると

$$ t>a(t^2-4)+2

$$

となる。これを整理すると

$$ t-2>a(t^2-4)

$$

であり、

$$ t^2-4=(t-2)(t+2)

$$

だから

$$ t-2>a(t-2)(t+2)

$$

となる。移項して

$$ (t-2){1-a(t+2)}>0

$$

を得る。

求める解は $-2\leqq x<2$、すなわち

$$ 0\leqq t<2

$$

である。したがって、$0\leqq t<2$ で上の不等式が成立し、$t\geqq 2$ では成立しないようにすればよい。

まず $0\leqq t<2$ では

$$ t-2<0

$$

である。したがって

$$ (t-2){1-a(t+2)}>0

$$

となるためには

$$ 1-a(t+2)<0

$$

すなわち

$$ a(t+2)>1

$$

が必要である。

これがすべての $0\leqq t<2$ で成り立つには、左辺 $a(t+2)$ が最小となる $t=0$ で

$$ 2a>1

$$

となればよい。よって

$$ a>\frac{1}{2}

$$

である。

次に $t>2$ では

$$ t-2>0

$$

である。このとき不等式が成立しないためには

$$ 1-a(t+2)\leqq 0

$$

であればよい。$a>\frac{1}{2}$ なら、特に $t>2$ に対して $a(t+2)>1$ が成り立つので、この条件は満たされる。

また $t=2$、すなわち $x=2$ では

$$ (t-2){1-a(t+2)}=0

$$

となり、不等式は成立しない。したがって端点の扱いも条件に合う。

さらに、$a,b$ は正の数であり、

$$ b=2-2a

$$

だから

$$ 2-2a>0

$$

より

$$ a<1

$$

である。

以上より

$$ \frac{1}{2}<a<1

$$

である。

このとき

$$ a+b=a+(2-2a)=2-a

$$

だから、$a$ が

$$ \frac{1}{2}<a<1

$$

を動くとき、

$$ 1<2-a<\frac{3}{2}

$$

となる。

解説

この問題では、解集合の右端 $x=2$ が含まれていないことが重要である。ただし、$2$ の直前までは解に含まれるので、連続性から $x=2$ は等号成立点になる。

そのため、まず $2a+b=2$ を導き、$b$ を $a$ で表すのが初手である。その後、$t=\sqrt{x+2}$ とおくと、平方根を含む不等式が

$$ (t-2){1-a(t+2)}>0

$$

という積の符号判定に変わる。端点 $t=0,2$ の扱いを落とさないことがこの問題の要点である。

答え

$$ 1<a+b<\frac{3}{2}

$$