解説

方針・初手

平方根を含む不等式では、まず平方根の中身の条件と、両辺を2乗できる条件を確認する。

今回は左辺 $\sqrt{3-x}$ が常に $0$ 以上であるため、$\sqrt{3-x}<x+1$ が成り立つには、右辺 $x+1$ が正でなければならない。

解法1

まず、平方根の中身より

$$ 3-x \geqq 0

$$

であるから、

$$ x \leqq 3

$$

である。

また、$\sqrt{3-x}\geqq 0$ であるから、$\sqrt{3-x}<x+1$ が成り立つには

$$ x+1>0

$$

すなわち

$$ x>-1

$$

が必要である。

したがって、考える範囲は

$$ -1<x\leqq 3

$$

である。

この範囲では両辺が $0$ 以上であり、特に右辺 $x+1$ は正なので、両辺を2乗してよい。

$$ \sqrt{3-x}<x+1

$$

の両辺を2乗すると、

$$ 3-x<(x+1)^2

$$

である。

右辺を展開して整理すると、

$$ 3-x<x^2+2x+1

$$

$$ 0<x^2+3x-2

$$

よって、

$$ x^2+3x-2>0

$$

を解けばよい。

方程式 $x^2+3x-2=0$ の解は、

$$ x=\frac{-3\pm\sqrt{9+8}}{2} =\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}

$$

である。

したがって、二次関数 $x^2+3x-2$ は上に凸なので、

$$ x<\frac{-3-\sqrt{17}}{2},\quad \frac{-3+\sqrt{17}}{2}<x

$$

である。

これを先ほどの条件 $-1<x\leqq 3$ と合わせる。

$$ \frac{-3-\sqrt{17}}{2}<-1

$$

であるから、左側の範囲は $-1<x\leqq 3$ と重ならない。

よって求める範囲は

$$ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}<x\leqq 3

$$

である。

解説

この問題では、最初に $x\leqq 3$ だけを考えて両辺を2乗すると誤りになりやすい。平方根の左辺は $0$ 以上なので、右辺 $x+1$ が正であることも必要である。

また、不等号が厳密な $<$ であるため、下端 $\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$ は含まれない。一方、$x=3$ では

$$ \sqrt{3-3}=0,\quad 3+1=4

$$

となり、$0<4$ が成り立つので、$3$ は含まれる。

答え

$$ \frac{-3+\sqrt{17}}{2}<x\leqq 3

$$