解説

方針・初手

平方根を含む方程式なので、まず平方根を一方に移す。ただし、平方すると余分な解が出る可能性があるため、平方前の条件を必ず確認する。

解法1

与えられた方程式は

$$ x^2=3-\sqrt{8+x}

$$

である。平方根が定義されるためには $8+x\geqq 0$ が必要である。また、式を変形すると

$$ \sqrt{8+x}=3-x^2

$$

となるので、右辺は $0$ 以上でなければならない。したがって

$$ 3-x^2\geqq 0

$$

より、

$$ -\sqrt{3}\leqq x\leqq \sqrt{3}

$$

である。

この条件のもとで両辺を平方すると、

$$ 8+x=(3-x^2)^2

$$

である。展開して整理すると、

$$ 8+x=9-6x^2+x^4

$$

より、

$$ x^4-6x^2-x+1=0

$$

を得る。

ただし、この4次方程式の解のうち、元の方程式に戻れるのは $-\sqrt{3}\leqq x\leqq \sqrt{3}$ を満たすものだけである。

ここで

$$ f(x)=3-\sqrt{8+x}-x^2

$$

とおく。元の方程式の実数解は $f(x)=0$ の解である。

微分すると、

$$ f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{8+x}}-2x

$$

さらに

$$ f''(x)=\frac{1}{4(8+x)^{3/2}}-2

$$

である。区間 $-\sqrt{3}\leqq x\leqq \sqrt{3}$ では $8+x>0$ であり、

$$ \frac{1}{4(8+x)^{3/2}}<2

$$

だから、

$$ f''(x)<0

$$

である。したがって $f(x)$ はこの区間で上に凸、つまり $f'(x)$ は単調減少である。よって $f(x)=0$ の解は高々2個である。

実際に値を調べると、

$$ f(-0.52)<0,\qquad f(-0.51)>0

$$

であるから、$-0.52<x<-0.51$ に解が1つある。

また、

$$ f(0.33)>0,\qquad f(0.34)<0

$$

であるから、$0.33<x<0.34$ に解が1つある。

解は高々2個であり、実際に2個存在するので、これらがすべての実数解である。

ニュートン法などで近似すると、

$$ x=-0.5137022874\cdots

$$

および

$$ x=0.3358707895\cdots

$$

となる。

解説

平方根を含む方程式では、平方する前に

$$ \sqrt{8+x}=3-x^2

$$

と変形し、右辺が $0$ 以上である条件を確認することが重要である。

この問題では平方後に

$$ x^4-6x^2-x+1=0

$$

という4次方程式になるが、有理数解をもつ形ではない。したがって、元の関数

$$ f(x)=3-\sqrt{8+x}-x^2

$$

の増減・凹凸を調べて、実数解の個数を確定し、数値的に解を求めるのが自然である。

答え

実数解は2個であり、

$$ x=-0.5137022874\cdots,\qquad x=0.3358707895\cdots

$$

である。