解説

方針・初手

平方根を含む不等式では、まず平方根の中身の条件と、両辺を2乗してよい条件を確認する。

左辺は常に $0$ 以上であるため、右辺 $x+4$ が負の場合は不等式は成り立たない。この点を押さえてから2乗する。

解法1

不等式

$$ \sqrt{3x^2-12}\leqq x+4

$$

を考える。

まず平方根が定義されるためには、

$$ 3x^2-12\geqq 0

$$

である必要がある。よって、

$$ 3(x^2-4)\geqq 0

$$

より、

$$ x\leqq -2,\quad 2\leqq x

$$

である。

また、左辺 $\sqrt{3x^2-12}$ は $0$ 以上である。したがって、右辺 $x+4$ が負、すなわち $x<-4$ のときは不等式は成り立たない。

よって、調べるべき範囲は

$$ -4\leqq x\leqq -2,\quad 2\leqq x

$$

である。

この範囲では $x+4\geqq 0$ なので、両辺を2乗してよい。したがって、

$$ \sqrt{3x^2-12}\leqq x+4

$$

は

$$ 3x^2-12\leqq (x+4)^2

$$

と同値である。

右辺を展開すると、

$$ 3x^2-12\leqq x^2+8x+16

$$

となる。整理して、

$$ 2x^2-8x-28\leqq 0

$$

両辺を $2$ で割ると、

$$ x^2-4x-14\leqq 0

$$

である。

この2次方程式

$$ x^2-4x-14=0

$$

の解は、

$$ x=\frac{4\pm\sqrt{16+56}}{2} =\frac{4\pm\sqrt{72}}{2} =2\pm 3\sqrt{2}

$$

である。

よって、

$$ x^2-4x-14\leqq 0

$$

を満たす範囲は

$$ 2-3\sqrt{2}\leqq x\leqq 2+3\sqrt{2}

$$

である。

これを、最初に求めた範囲

$$ -4\leqq x\leqq -2,\quad 2\leqq x

$$

と共通部分を取る。

まず、$-4\leqq x\leqq -2$ との共通部分は、

$$ 2-3\sqrt{2}\leqq x\leqq -2

$$

である。

次に、$2\leqq x$ との共通部分は、

$$ 2\leqq x\leqq 2+3\sqrt{2}

$$

である。

したがって、求める範囲は

$$ 2-3\sqrt{2}\leqq x\leqq -2,\quad 2\leqq x\leqq 2+3\sqrt{2}

$$

である。

解説

平方根を含む不等式では、いきなり2乗すると余分な解を含むことがある。この問題では、左辺が $0$ 以上であるため、右辺 $x+4$ も $0$ 以上でなければならない。

また、平方根の中身の条件

$$ 3x^2-12\geqq 0

$$

も必要である。この2つの条件を確認したうえで2乗すれば、同値変形として処理できる。

特に、$x<-4$ の範囲をそのまま2乗で処理してしまうと、右辺が負であることを見落とす危険がある。

答え

$$ 2-3\sqrt{2}\leqq x\leqq -2,\quad 2\leqq x\leqq 2+3\sqrt{2}

$$