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数学3 関数「分数関数」の問題1 解説

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数学3関数分数関数問題1

解説

与えられた分数式を、基本形 $y=-\dfrac{1}{x}$ と比較できる形に変形する。

特に、分母が $x-2$ であることから、$x$ の部分が $x-2$ に置き換わっていると見る。

関数

$$ y=\frac{3x-7}{x-2}

を変形する。分子を分母 $x-2$ を使って表すと、

$$ 3x-7=3(x-2)-1

であるから、

$$ \begin{aligned} y &=\frac{3(x-2)-1}{x-2} \\ &=3-\frac{1}{x-2} \\ &=-\frac{1}{x-2}+3 \end{aligned}

となる。

ここで、$y=-\dfrac{1}{x}$ のグラフにおいて、$x$ を $x-2$ に置き換えると、グラフは $x$ 軸方向に $2$ だけ平行移動する。これは右方向への移動である。

さらに、全体に $+3$ されているので、$y$ 軸方向に $3$ だけ平行移動する。これは上方向への移動である。

したがって、

$$ y=-\frac{1}{x}

のグラフを、$x$ 軸方向へ $2$、$y$ 軸方向へ $3$ だけ平行移動したものが

$$ y=\frac{3x-7}{x-2}

のグラフである。

分数関数の平行移動では、まず

$$ y=\frac{a}{x-p}+q

の形に直すことが重要である。

今回は

$$ y=-\frac{1}{x-2}+3

となるので、基準となるグラフ $y=-\dfrac{1}{x}$ から見て、$x$ 軸方向に $2$、$y$ 軸方向に $3$ の移動である。

分母が $x-2$ のとき、左ではなく右に $2$ 移動する点に注意する。

$$ \boxed{\text{ア}=2,\quad \text{イ}=3}