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数学3 関数「分数関数」の問題2 解説

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数学3関数分数関数問題2

解説

共有点では、2つの関数の $y$ 座標が等しい。したがって

$$ \frac{x^2}{x-1}=x^2

を解けばよい。ただし、左辺は $x=1$ で定義されないため、$x\neq 1$ に注意する。

共有点の $x$ 座標は

$$ \frac{x^2}{x-1}=x^2

を満たす $x$ である。

ここで $x\neq 1$ なので、両辺に $x-1$ をかけることができる。

$$ x^2=x^2(x-1)

右辺を展開すると、

$$ x^2=x^3-x^2

よって

$$ x^3-2x^2=0

となる。左辺を因数分解して、

$$ x^2(x-2)=0

したがって

$$ x=0,\ 2

である。

どちらも $x=1$ ではないので、もとの関数の定義域から除外される値ではない。実際に確認すると、$x=0$ のとき両方とも $y=0$、$x=2$ のとき両方とも $y=4$ となる。

この問題では、共有点の条件を「2つの $y$ の値が等しい」として方程式にするのが基本である。

注意点は、$y=\dfrac{x^2}{x-1}$ は $x=1$ で定義されないことである。今回は両辺に $x-1$ をかける操作をしているため、その前提として $x\neq 1$ を確認する必要がある。

また、

$$ x^2=x^2(x-1)

から両辺を安易に $x^2$ で割ると、$x=0$ の解を失う。したがって、移項して因数分解するのが安全である。

共有点の $x$ 座標は

$$ x=0,\ 2

である。