解説

方針・初手

分数関数の漸近線は、分母が $0$ になるところから垂直方向の漸近線を調べ、さらに分子・分母の次数を見て水平方向の漸近線を求める。

今回は分子・分母がともに $1$ 次式なので、式を変形して定数部分と分数部分に分けるとよい。

解法1

関数は

$$ y=\frac{6-4x}{2x-5}

$$

である。

まず、分母が $0$ になる値を求める。

$$ 2x-5=0

$$

より、

$$ x=\frac{5}{2}

$$

である。したがって、$x=\frac{5}{2}$ の近くで分母が $0$ に近づくため、垂直な漸近線は

$$ x=\frac{5}{2}

$$

である。

次に、水平方向の漸近線を求めるため、分子を分母を用いて変形する。

$$ 6-4x=-2(2x-5)-4

$$

したがって、

$$ \begin{aligned} y &=\frac{-2(2x-5)-4}{2x-5}\\ &=-2-\frac{4}{2x-5} \end{aligned}

$$

ここで、$x \to \pm\infty$ のとき、

$$ \frac{4}{2x-5}\to 0

$$

であるから、

$$ y\to -2

$$

となる。よって、水平方向の漸近線は

$$ y=-2

$$

である。

解法2

分子・分母がともに $1$ 次式であるから、$x\to\pm\infty$ のときの値は最高次の係数の比で決まる。

分子の最高次の項は $-4x$、分母の最高次の項は $2x$ であるから、

$$ \frac{6-4x}{2x-5}\to \frac{-4x}{2x}=-2

$$

となる。

したがって、水平方向の漸近線は

$$ y=-2

$$

である。

また、垂直方向の漸近線は分母が $0$ になるところであるから、

$$ 2x-5=0

$$

より、

$$ x=\frac{5}{2}

$$

である。

解説

分数関数の漸近線では、まず分母が $0$ になる値を確認する。そこで分子が同時に $0$ にならないなら、その直線が垂直方向の漸近線になる。

また、分子と分母の次数が同じとき、水平方向の漸近線は最高次の係数の比で求められる。今回は

$$ \frac{-4}{2}=-2

$$

であるため、$y=-2$ が水平な漸近線である。

答え

漸近線は

$$ x=\frac{5}{2},\quad y=-2

$$

である。