解説

方針・初手

分母が $0$ になる $x=a$ は定義されないので、$x$ の範囲を $[0,a)$ と $(a,\infty)$ に分ける。

また、関数

$$ y=\frac{ax-1}{a-x}

$$

は分数関数なので、単調性と端での極限を調べると値域が分かる。

解法1

まず、$x\ne a$ に注意する。微分すると、

$$ y'=\frac{a(a-x)-(ax-1)(-1)}{(a-x)^2} =\frac{a^2-1}{(a-x)^2}

$$

である。分母は常に正なので、増減は $a^2-1$ の符号で決まる。

**(i)**

$a>1$ のとき

このとき $y'>0$ であるから、$[0,a)$ と $(a,\infty)$ のそれぞれで単調増加である。

まず $[0,a)$ では、

$$ y(0)=\frac{-1}{a}=-\frac{1}{a}

$$

であり、$x\to a-0$ のとき、分母 $a-x$ は正で $0$ に近づき、分子 $ax-1$ は $a^2-1>0$ に近づく。したがって、

$$ y\to +\infty

$$

である。よってこの区間での値域は

$$ \left[-\frac{1}{a},\infty\right)

$$

である。

次に $(a,\infty)$ では、$x\to a+0$ のとき、分母 $a-x$ は負で $0$ に近づき、分子は $a^2-1>0$ に近づくから、

$$ y\to -\infty

$$

である。また、

$$ \frac{ax-1}{a-x} =-a+\frac{a^2-1}{a-x}

$$

より、$x\to\infty$ のとき

$$ y\to -a

$$

である。$a-x<0$ かつ $a^2-1>0$ なので、

$$ \frac{a^2-1}{a-x}<0

$$

であり、$y$ は常に $-a$ より小さい。したがって、この区間での値域は

$$ (-\infty,-a)

$$

である。

よって、$a>1$ のときの値域は

$$ (-\infty,-a)\cup\left[-\frac{1}{a},\infty\right)

$$

である。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

このとき $y'<0$ であるから、$[0,a)$ と $(a,\infty)$ のそれぞれで単調減少である。

まず $[0,a)$ では、

$$ y(0)=-\frac{1}{a}

$$

であり、$x\to a-0$ のとき、分母 $a-x$ は正で $0$ に近づき、分子 $ax-1$ は $a^2-1<0$ に近づく。したがって、

$$ y\to -\infty

$$

である。よってこの区間での値域は

$$ (-\infty,-\frac{1}{a}]

$$

である。

次に $(a,\infty)$ では、$x\to a+0$ のとき、分母 $a-x$ は負で $0$ に近づき、分子は $a^2-1<0$ に近づくから、

$$ y\to +\infty

$$

である。また、

$$ y=-a+\frac{a^2-1}{a-x}

$$

であり、$x>a$ では $a-x<0$、さらに $a^2-1<0$ だから、

$$ \frac{a^2-1}{a-x}>0

$$

である。したがって $y$ は常に $-a$ より大きく、$x\to\infty$ のとき $y\to -a$ である。

よってこの区間での値域は

$$ (-a,\infty)

$$

である。

したがって、$0<a<1$ のときの値域は

$$ (-\infty,-\frac{1}{a}]\cup(-a,\infty)

$$

である。

**(iii)**

$a=1$ のとき

このとき、

$$ y=\frac{x-1}{1-x}

$$

である。$x\ne 1$ に注意すると、

$$ \frac{x-1}{1-x}=-1

$$

である。

$x=1$ では定義されないが、それ以外の $x\geqq 0$ では常に $y=-1$ となる。したがって値域は

$$ {-1}

$$

である。

解法2

$y$ の値から $x$ が存在する条件を調べてもよい。

$$ y=\frac{ax-1}{a-x}

$$

より、

$$ y(a-x)=ax-1

$$

である。整理すると、

$$ ay+1=x(a+y)

$$

となる。

$a+y\ne 0$ のとき、

$$ x=\frac{ay+1}{a+y}

$$

である。したがって、$x\geqq 0$ となるための条件は

$$ \frac{ay+1}{a+y}\geqq 0

$$

である。

ここで、

$$ ay+1=a\left(y+\frac{1}{a}\right)

$$

であり、$a>0$ だから、符号が変わる点は

$$ y=-\frac{1}{a},\quad y=-a

$$

である。

ただし、$a=1$ のときはこの $2$ 点が一致するので別に扱う。

**(i)**

$a>1$ のとき

このとき

$$ -a<-\frac{1}{a}

$$

ではなく、

$$ -a<-\frac{1}{a}

$$

である。したがって、符号を調べると

$$ \frac{ay+1}{a+y}\geqq 0

$$

となるのは

$$ y<-a,\quad または\quad y\geqq -\frac{1}{a}

$$

である。

$y=-a$ は分母 $a+y=0$ となるので含まれない。よって

$$ (-\infty,-a)\cup\left[-\frac{1}{a},\infty\right)

$$

である。

**(ii)**

$0<a<1$ のとき

このとき

$$ -\frac{1}{a}<-a

$$

である。符号を調べると、

$$ \frac{ay+1}{a+y}\geqq 0

$$

となるのは

$$ y\leqq -\frac{1}{a},\quad または\quad y>-a

$$

である。

したがって値域は

$$ (-\infty,-\frac{1}{a}]\cup(-a,\infty)

$$

である。

**(iii)**

$a=1$ のとき

$$ y=\frac{x-1}{1-x}=-1

$$

であるから、値域は

$$ {-1}

$$

である。

解説

この問題では、$x\geqq 0$ だけでなく、分母が $0$ になる $x=a$ が除かれる点が重要である。したがって、$x$ の範囲を $[0,a)$ と $(a,\infty)$ に分ける必要がある。

また、$a$ の大小によって $a^2-1$ の符号が変わるため、$a>1$、$0<a<1$、$a=1$ の場合分けが必要になる。特に $a=1$ のときは、分数関数ではなく定数関数 $y=-1$ になる点を見落としやすい。

答え

$$ \begin{cases} (-\infty,-a)\cup\left[-\dfrac{1}{a},\infty\right) & (a>1)\\ {-1} & (a=1)\\ (-\infty,-\dfrac{1}{a}]\cup(-a,\infty) & (0<a<1) \end{cases}

$$