解説

方針・初手

まず漸近線と通過点から $a,b$ を決める。分数関数

$$ y=\frac{ax+b}{2x+1}

$$

は、分子と分母の次数が同じなので、水平漸近線は最高次係数の比から

$$ y=\frac{a}{2}

$$

である。これが $y=1$ であることを利用する。

不等式は、求めた関数のグラフと直線 $y=x-2$ の上下関係として考えてもよいが、最終的には差をとって符号を調べるのが確実である。

解法1

グラフが点 $(1,0)$ を通るから、$x=1,\ y=0$ を代入して

$$ 0=\frac{a+b}{3}

$$

より

$$ a+b=0

$$

である。

また、分数関数

$$ y=\frac{ax+b}{2x+1}

$$

の水平漸近線は

$$ y=\frac{a}{2}

$$

である。これが $y=1$ だから、

$$ \frac{a}{2}=1

$$

より

$$ a=2

$$

である。したがって $a+b=0$ から

$$ b=-2

$$

となる。

よって、①は

$$ y=\frac{2x-2}{2x+1}

$$

である。

次に、不等式

$$ \frac{ax+b}{2x+1}>x-2

$$

に $a=2,\ b=-2$ を代入すると、

$$ \frac{2x-2}{2x+1}>x-2

$$

である。ただし、分母が $0$ になってはいけないので、

$$ x\neq -\frac{1}{2}

$$

である。

両辺の差をとると、

$$ \frac{2x-2}{2x+1}-(x-2)>0

$$

である。左辺を通分して整理すると、

$$ \frac{2x-2-(x-2)(2x+1)}{2x+1}>0

$$

である。

ここで、

$$ (x-2)(2x+1)=2x^2-3x-2

$$

だから、

$$ 2x-2-(2x^2-3x-2)=-2x^2+5x=x(5-2x)

$$

となる。したがって、不等式は

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}>0

$$

となる。

符号が変わる点は

$$ x=-\frac{1}{2},\quad x=0,\quad x=\frac{5}{2}

$$

である。これらを境に符号を調べる。

**(i)**

$x<-\frac{1}{2}$ のとき、$x<0,\ 5-2x>0,\ 2x+1<0$ なので、

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}>0

$$

である。

**(ii)**

$-\frac{1}{2}<x<0$ のとき、$x<0,\ 5-2x>0,\ 2x+1>0$ なので、

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}<0

$$

である。

**(iii)**

$0<x<\frac{5}{2}$ のとき、$x>0,\ 5-2x>0,\ 2x+1>0$ なので、

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}>0

$$

である。

**(iv)**

$x>\frac{5}{2}$ のとき、$x>0,\ 5-2x<0,\ 2x+1>0$ なので、

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}<0

$$

である。

不等号は $>$ であるから、等号となる $x=0,\ \frac{5}{2}$ は含まない。また $x=-\frac{1}{2}$ は定義されないので含まない。

よって、解は

$$ x<-\frac{1}{2},\quad 0<x<\frac{5}{2}

$$

である。

解説

この問題では、まず分数関数の漸近線を正しく読むことが重要である。

$$ \frac{ax+b}{2x+1}

$$

のように分子と分母がともに一次式の場合、水平漸近線は最高次係数の比で決まる。したがって、水平漸近線 $y=1$ からすぐに $a=2$ が出る。

不等式では、分母 $2x+1$ の符号が変わるため、単純に両辺に $2x+1$ をかけて処理すると符号の反転を見落としやすい。差をとって

$$ \frac{x(5-2x)}{2x+1}>0

$$

の形にし、符号表で処理するのが安全である。

答え

**(1)**

$$ a=2,\quad b=-2

$$

**(2)**

$$ x<-\frac{1}{2},\quad 0<x<\frac{5}{2}

$$