解説

方針・初手

$x=\log_2 a$ とおくと、$a=2^x$ と表せる。したがって、対数の底の変換公式を用いて、不等式をすべて $x$ の式に直す。

特に、$\log_2 256=8$、また

$$ \log_{2a} a=\frac{\log_2 a}{\log_2(2a)}

$$

を使う。

解法1

$x=\log_2 a$ であるから、

$$ a=2^x

$$

である。

$x=5$ のとき、

$$ a=2^5=32

$$

となる。

次に、左辺を計算する。

$$ \log_2 256a=\log_2 256+\log_2 a

$$

ここで $\log_2 256=8$、また $\log_2 a=x$ より、

$$ \log_2 256a=8+x

$$

である。

右辺は、底の変換公式より

$$ 3\log_{2a}a =3\cdot \frac{\log_2 a}{\log_2(2a)}

$$

となる。

ここで、

$$ \log_2 a=x

$$

また、

$$ \log_2(2a)=\log_2 2+\log_2 a=1+x

$$

であるから、

$$ 3\log_{2a}a=\frac{3x}{1+x}

$$

となる。

したがって、不等式は

$$ 8+x>\frac{3x}{1+x}

$$

となる。

ただし、$\log_{2a}a$ の底は $2a$ であり、$2a\ne 1$ より

$$ x\ne -1

$$

である。

不等式を整理すると、

$$ 8+x-\frac{3x}{1+x}>0

$$

すなわち、

$$ \frac{(x+8)(x+1)-3x}{x+1}>0

$$

である。

分子を展開して整理すると、

$$ (x+8)(x+1)-3x=x^2+9x+8-3x=x^2+6x+8

$$

であり、

$$ x^2+6x+8=(x+2)(x+4)

$$

だから、

$$ \frac{(x+2)(x+4)}{x+1}>0

$$

を解けばよい。

境目となる値は

$$ x=-4,\ -2,\ -1

$$

である。符号を調べると、

$$ \frac{(x+2)(x+4)}{x+1}>0

$$

となるのは

$$ -4<x<-2,\quad x>-1

$$

である。

解説

この問題では、$x=\log_2 a$ と置くことで、$a$ を含む対数式を $x$ の有理式に変形することが重要である。

左辺は $\log_2 256=8$ を使えばすぐに $8+x$ になる。右辺は底が $2a$ なので、底の変換公式を使って

$$ \log_{2a}a=\frac{x}{1+x}

$$

とする。

最後の不等式では、両辺に $1+x$ を不用意に掛けてはいけない。$1+x$ の符号が $x$ によって変わるため、分数不等式として

$$ \frac{(x+2)(x+4)}{x+1}>0

$$

を解く必要がある。

答え

$$ [ア]=32

$$

$$ [イ]=8,\quad [ウ]=3,\quad [エ]=1

$$

$$ [オ]=-4,\quad [カ]=-2,\quad [キ]=-1

$$

したがって、

$$ -4<x<-2,\quad x>-1

$$