解説

方針・初手

円 $O_2,O_3,\dots$ はいずれも $\angle B$ をつくる 2 辺 $BA,BC$ に接し、さらに直前の円に接している。したがって、それぞれの中心は $\angle B$ の二等分線上に並ぶ。

まず直角三角形 $ABC$ の辺の長さと内接円の半径 $r_1$ を求め、次に $\sin \dfrac{B}{2}$ を用いて半径の比 $r_{n+1}/r_n$ を出す。面積は半径の 2 乗に比例するので、等比数列として和まで求められる。

解法1

$\angle C=90^\circ,\ AB=8,\ BC=7$ より、三平方の定理から

$$ AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{8^2-7^2}=\sqrt{15} $$

である。

（1） $r_1$ を求める

直角三角形の内接円の半径は

$$ r=\frac{\text{2辺の和}-\text{斜辺}}{2} $$

であるから、

$$ r_1=\frac{AC+BC-AB}{2} =\frac{\sqrt{15}+7-8}{2} =\frac{\sqrt{15}-1}{2} $$

したがって、

$$ r_1=\frac{\sqrt{15}-1}{2} $$

である。

（2） $\sin \dfrac{B}{2}$ を求める

$\cos B=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac{7}{8}$ なので、半角公式より

$$ \sin\frac{B}{2} =\sqrt{\frac{1-\cos B}{2}} =\sqrt{\frac{1-\frac78}{2}} =\sqrt{\frac{1}{16}} =\frac14 $$

よって、

$$ \sin\frac{B}{2}=\frac14 $$

である。

（3） $r_2$ と $r_1$ の関係を求める

$\angle B$ の二等分線上で、頂点 $B$ から円 $O_n$ の中心までの距離を $d_n$ とすると、中心から辺までの距離が半径なので

$$ r_n=d_n\sin\frac{B}{2} $$

したがって、

$$ d_n=\frac{r_n}{\sin\frac{B}{2}} $$

である。

隣り合う 2 円は外接しているから、中心間距離は半径の和に等しい。しかも中心は同一直線上にあるので

$$ d_n-d_{n+1}=r_n+r_{n+1} $$

となる。ここに $d_n=\dfrac{r_n}{\sin(B/2)}$ を代入すると

$$ \frac{r_n-r_{n+1}}{\sin\frac{B}{2}}=r_n+r_{n+1} $$

$\sin\dfrac{B}{2}=\dfrac14$ を代入して

$$ 4(r_n-r_{n+1})=r_n+r_{n+1} $$

よって

$$ 3r_n=5r_{n+1} $$

すなわち

$$ r_{n+1}=\frac35 r_n $$

である。したがって、

$$ r_2=\frac35 r_1 $$

となる。

（4） $S_{n+1}$ と $S_n$ の関係を求める

面積 $S_n$ は

$$ S_n=\pi r_n^2 $$

であるから、

$$ S_{n+1}=\pi r_{n+1}^2 =\pi\left(\frac35 r_n\right)^2 =\frac{9}{25}\pi r_n^2 =\frac{9}{25}S_n $$

よって

$$ S_{n+1}=\frac{9}{25}S_n $$

である。

（5） $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}S_n$ を求める

$S_{n+1}=\dfrac{9}{25}S_n$ より、${S_n}$ は初項 $S_1$、公比 $\dfrac{9}{25}$ の等比数列である。

まず

$$ S_1=\pi r_1^2 =\pi\left(\frac{\sqrt{15}-1}{2}\right)^2 =\pi\cdot\frac{16-2\sqrt{15}}{4} =\frac{8-\sqrt{15}}{2}\pi $$

したがって、無限等比級数の和は

$$ \sum_{n=1}^{\infty}S_n =\frac{S_1}{1-\frac{9}{25}} =\frac{\frac{8-\sqrt{15}}{2}\pi}{\frac{16}{25}} =\frac{25(8-\sqrt{15})}{32}\pi $$

である。

解説

この問題の本質は、各円の中心がすべて $\angle B$ の二等分線上に並ぶことにある。角の両辺に接する円では、頂点から中心までの距離と半径の間に

$$ r=d\sin\frac{B}{2} $$

という関係が成り立つ。これを使うと、隣り合う円の接触条件がそのまま半径の等比関係に変わる。

一度 $r_{n+1}=\dfrac35 r_n$ が出れば、面積はその 2 乗比 $\dfrac{9}{25}$ で等比数列になるので、最後は無限等比級数の和を求めるだけである。

答え

**(1)**

$$ \frac{\sqrt{15}-1}{2} $$

**(2)**

$$ \frac14 $$

**(3)**

$$ \frac35 $$

**(4)**

$$ \frac{9}{25} $$

**(5)**

$$ \frac{25(8-\sqrt{15})}{32}\pi $$