解説

方針・初手

各級数は初項 $1$ の無限等比級数であり、しかも収束するので、公比をそれぞれ $r,s$ とおけば $|r|<1,\ |s|<1$ である。

したがって

$$ a_n=r^{n-1},\qquad b_n=s^{n-1} $$

と表せる。与えられた 2 つの和から $r+s,\ rs$ を求め、最後に

$$ (a_n+b_n)^2=a_n^2+2a_nb_n+b_n^2 $$

を用いて求めるのが自然である。

解法1

$a_n=r^{n-1},\ b_n=s^{n-1}$ より、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n=\frac{1}{1-r},\qquad \sum_{n=1}^{\infty} b_n=\frac{1}{1-s} $$

であるから、

$$ \frac{1}{1-r}+\frac{1}{1-s}=\frac{8}{3} $$

が成り立つ。

また、

$$ a_nb_n=r^{n-1}s^{n-1}=(rs)^{n-1} $$

であるから、

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n=\sum_{n=1}^{\infty}(rs)^{n-1}=\frac{1}{1-rs}=\frac{4}{5} $$

となる。よって

$$ 1-rs=\frac{5}{4} $$

より

$$ rs=-\frac{1}{4} $$

である。

次に、

$$ \frac{1}{1-r}+\frac{1}{1-s} =\frac{(1-s)+(1-r)}{(1-r)(1-s)} =\frac{2-(r+s)}{1-(r+s)+rs} =\frac{8}{3} $$

であり、ここに $rs=-\frac14$ を代入すると

$$ \frac{2-(r+s)}{\frac34-(r+s)}=\frac{8}{3} $$

となる。ここで $t=r+s$ とおけば、

$$ \frac{2-t}{\frac34-t}=\frac{8}{3} $$

すなわち

$$ 3(2-t)=8\left(\frac34-t\right) $$

であるから、

$$ 6-3t=6-8t $$

より

$$ t=0 $$

となる。したがって

$$ r+s=0 $$

である。

ここで求める級数は

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2 =\sum_{n=1}^{\infty}a_n^2+2\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n+\sum_{n=1}^{\infty}b_n^2 $$

である。

まず $rs=-\frac14,\ r+s=0$ より $r^2=-rs=\frac14,\ s^2=\frac14$ であるから、

$$ \sum_{n=1}^{\infty}a_n^2 =\sum_{n=1}^{\infty}(r^2)^{n-1} =\frac{1}{1-r^2} =\frac{1}{1-\frac14} =\frac{4}{3} $$

同様に

$$ \sum_{n=1}^{\infty}b_n^2=\frac{4}{3} $$

である。また、

$$ 2\sum_{n=1}^{\infty}a_nb_n=2\cdot \frac45=\frac85 $$

であるから、

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2 =\frac43+\frac85+\frac43 =\frac83+\frac85 =\frac{64}{15} $$

となる。

解説

この問題の要点は、等比級数の和をそのまま使って公比の情報に落とし込むことである。

$\sum a_nb_n$ もまた等比級数になることに気づけば $rs$ が求まり、さらに $\sum(a_n+b_n)$ から $r+s$ が求まる。そこまで分かれば、あとは $a_n^2,\ b_n^2,\ a_nb_n$ の和に分解するだけでよい。

直接 $(a_n+b_n)$ の形を追いかけるよりも、まず公比の対称式 $r+s,\ rs$ を押さえるのが最も整理しやすい方針である。

答え

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(a_n+b_n)^2=\frac{64}{15} $$