解説

方針・初手

符号が $+,-,+,-,\dots$ と交互に現れているので、まず隣り合う2項ずつを組にして整理するのが自然である。

そのうえで $n$ が偶数の場合と奇数の場合に分けて $a_n$ を求めれば、（2） の級数は分母が簡単になって望ましい形に変形できる。

解法1

まず

$$ a_n=1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots+(-1)^{n+1}n^2 $$

である。

**(i)**

$n=2m$ のとき

$$ \begin{aligned} a_{2m} &=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+{(2m-1)^2-(2m)^2} \\ &=\sum_{k=1}^{m}\left\{(2k-1)^2-(2k)^2\right\}. \end{aligned} $$

ここで

$$ (2k-1)^2-(2k)^2=(4k^2-4k+1)-4k^2=-4k+1 $$

であるから、

$$ \begin{aligned} a_{2m} &=\sum_{k=1}^{m}(-4k+1) \\ &=-4\sum_{k=1}^{m}k+\sum_{k=1}^{m}1 \\ &=-4\cdot \frac{m(m+1)}{2}+m \\ &=-2m(m+1)+m \\ &=-m(2m+1). \end{aligned} $$

$n=2m$ なので、

$$ a_{2m}=-\frac{(2m)(2m+1)}{2}=-\frac{n(n+1)}{2}. $$

**(ii)**

$n=2m-1$ のとき

$$ \begin{aligned} a_{2m-1} &=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+\cdots+{(2m-3)^2-(2m-2)^2}+(2m-1)^2 \\ &=\sum_{k=1}^{m-1}\left\{(2k-1)^2-(2k)^2\right\}+(2m-1)^2 \\ &=\sum_{k=1}^{m-1}(-4k+1)+(2m-1)^2. \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} a_{2m-1} &=-4\sum_{k=1}^{m-1}k+(m-1)+(2m-1)^2 \\ &=-4\cdot \frac{(m-1)m}{2}+(m-1)+(2m-1)^2 \\ &=-2m(m-1)+(m-1)+(2m-1)^2 \\ &=m(2m-1). \end{aligned} $$

$n=2m-1$ なので、

$$ a_{2m-1}=\frac{(2m-1){(2m-1)+1}}{2}=\frac{n(n+1)}{2}. $$

以上より、偶奇をまとめると

$$ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} $$

である。

次に （2） を求める。

（1） の結果を用いると、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{a_n} &=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{(-1)^{n+1}\dfrac{n(n+1)}{2}} \\ &=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)}. \end{aligned} $$

ここで

$$ \frac{2}{n(n+1)}=2\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n(n+1)} &=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right) \\ &=2\left\{\left(1-\frac12\right)+\left(\frac12-\frac13\right)+\left(\frac13-\frac14\right)+\cdots\right\} \\ &=2. \end{aligned} $$

よって

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{a_n}=2 $$

である。

解説

この問題の要点は、交代符号の和をそのまま扱わず、2項ずつ組にして差を取ることである。すると各組が一次式 $-4k+1$ になり、和が容易に計算できる。

また、（2） では （1） の結果を代入すると、符号がちょうど打ち消し合い、

$$ \frac{2}{n(n+1)} $$

という部分分数分解しやすい形になる。ここまで変形できれば、あとは望遠鏡型の和である。

答え

**(1)**

$$ a_n=(-1)^{n+1}\frac{n(n+1)}{2} $$

**(2)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{a_n}=2 $$