基礎問題集
数学3 極限「無限級数」の問題7 解説
数学3の極限「無限級数」にある問題7の基礎問題と解説ページです。問題と保存済み解説を公開し、ログイン後はAI質問と学習履歴も利用できます。
MathGrAIl の基礎問題集にある公開問題ページです。ログイン前でも問題と保存済み解説を確認でき、ログイン後はAI質問と学習履歴の保存を利用できます。
- 基礎問題の問題画像と保存済み解説を公開
- ログイン後にAI質問で復習
- ログイン後に学習履歴を保存
解説
方針・初手
$\cos n\pi$ は $n$ の偶奇で $1,-1$ を繰り返すので、まず $\cos n\pi=(-1)^n$ と書き換える。すると与えられた級数は等比級数になる。
解法1
$\cos n\pi=(-1)^n$ であるから、
$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n\cos n\pi &= \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac13\right)^n(-1)^n \\ \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac13\right)^n \end{aligned} $$
となる。
ここで、初項は $1$、公比は $-\dfrac13$ であり、$|-\dfrac13|<1$ だから無限等比級数の和の公式が使える。したがって、
$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\left(-\frac13\right)^n &= \frac{1}{1-(-\frac13)} \\ \frac{1}{1+\frac13} \\ \frac{1}{\frac43} \\ \frac34 \end{aligned} $$
よって、求める値は $\dfrac34$ である。
解説
この問題の要点は、$\cos n\pi$ をそのまま扱わず、$\cos n\pi=(-1)^n$ と見抜くことである。すると複雑に見える級数が、ただの無限等比級数に直る。三角関数を含む級数でも、値が周期的に並ぶときはまず数列として単純化できないかを見るのが基本である。
答え
$$ \frac34 $$