解説

方針・初手

循環小数 $0.\dot{1}989\dot{9}$ は $0.\overline{1989}$ を表すので、まずこれを分数に直す。

そのうえで

$$ \frac{a}{101}-\frac{b}{11}=\frac{c}{11}-\frac{d}{101}=0.\overline{1989} $$

をそれぞれ整数係数の方程式に直し、分数が真分数である条件

$$ 1\le a<101,\quad 1\le b<11,\quad 1\le c<11,\quad 1\le d<101 $$

のもとで解けばよい。

解法1

まず、

$$ x=0.\overline{1989} $$

とおくと、

$$ 10000x=1989.\overline{1989} $$

であるから、差をとって

$$ 9999x=1989 $$

よって

$$ x=\frac{1989}{9999} $$

となる。ここで

$$ 1989=9\cdot 221,\qquad 9999=9\cdot 1111 $$

より、

$$ 0.\overline{1989}=\frac{221}{1111} $$

である。

したがって

$$ \frac{a}{101}-\frac{b}{11}=\frac{221}{1111} $$

より、両辺に $1111=101\cdot 11$ をかけて

$$ 11a-101b=221 $$

を得る。

これを $11$ で考えると、

$$ 101\equiv 2,\qquad 221\equiv 1 \pmod{11} $$

なので

$$ 11a-101b=221 \quad\Rightarrow\quad -2b\equiv 1 \pmod{11} $$

すなわち

$$ 2b\equiv 10 \pmod{11} $$

である。ここで $1\le b<11$ だから、

$$ b=5 $$

と定まる。これを

$$ 11a-101b=221 $$

に代入すると、

$$ 11a=221+101\cdot 5=221+505=726 $$

より

$$ a=66 $$

である。

次に

$$ \frac{c}{11}-\frac{d}{101}=\frac{221}{1111} $$

より、同様にして

$$ 101c-11d=221 $$

を得る。

これを $11$ で考えると、

$$ 101\equiv 2 \pmod{11} $$

だから

$$ 2c\equiv 1 \pmod{11} $$

となる。$1\le c<11$ より

$$ c=6 $$

である。これを

$$ 101c-11d=221 $$

に代入すると、

$$ 11d=101\cdot 6-221=606-221=385 $$

より

$$ d=35 $$

となる。

以上より、

$$ a=66,\quad b=5,\quad c=6,\quad d=35 $$

である。

解説

循環小数をまず既約分数に直すことが出発点である。この問題では

$$ 0.\overline{1989}=\frac{1989}{9999}=\frac{221}{1111} $$

ときれいに約分でき、さらに分母 $1111$ が $101\cdot 11$ なので、与式の分母と自然につながる。

その後は一次不定方程式になるが、真分数という条件があるため、合同式を使うとただちに $b,c$ が一意に定まり、そこから $a,d$ も決まる。単に連立して計算するより、法 $11$ で見るのが最も見通しがよい。

答え

$$ a=66,\quad b=5,\quad c=6,\quad d=35 $$

である。