解説

方針・初手

隣り合う点がつくる中心角を

$$ \alpha_n=\angle P_{n-1}OP_n $$

とおくと、条件より $\alpha_n=\theta r^{n-1}$ である。すると $\angle P_0OP_n$ はこれらの和になるので、条件 (ア) は等比級数の和の条件に言い換えられる。

また、半径 $1$ の扇形の面積は、中心角をラジアンで表せばその半分であるから、

$$ S_n=\frac{1}{2}\alpha_n $$

となる。これも等比級数として処理すればよい。

解法1

まず

$$ \alpha_n=\angle P_{n-1}OP_n=\theta r^{n-1}\qquad (n=1,2,\dots) $$

であるから、

$$ \angle P_0OP_n=\sum_{k=1}^{n}\alpha_k=\sum_{k=1}^{n}\theta r^{k-1} $$

となる。

条件 (ア) より $\angle P_0OP_n$ は $n$ とともに増大し、極限が $2\pi$ である。したがって、正の項からなる等比級数

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\theta r^{k-1} $$

が収束し、その和が $2\pi$ である。よって

$$ 0<r<1 $$

かつ

$$ \sum_{k=1}^{\infty}\theta r^{k-1}=\frac{\theta}{1-r}=2\pi $$

であるから、

$$ \theta=2\pi(1-r) $$

を得る。これが （1） の答えである。

次に （2） を考える。

単位円において、扇形 $P_{n-1}OP_n$ の面積 $S_n$ は

$$ S_n=\frac{1}{2}\angle P_{n-1}OP_n=\frac{1}{2}\theta r^{n-1} $$

である。

したがって

$$ S_1+S_4+S_7+\cdots =\frac{\theta}{2}\left(1+r^3+r^6+\cdots\right) =\frac{\theta}{2(1-r^3)} $$

となる。条件よりこれが $\dfrac{4\pi}{7}$ に等しいので、

$$ \frac{\theta}{2(1-r^3)}=\frac{4\pi}{7} $$

ここに （1） で得た $\theta=2\pi(1-r)$ を代入すると、

$$ \frac{2\pi(1-r)}{2(1-r^3)}=\frac{4\pi}{7} $$

すなわち

$$ \frac{1-r}{1-r^3}=\frac{4}{7} $$

である。さらに

$$ 1-r^3=(1-r)(1+r+r^2) $$

であり、$r\ne 1$ だから、

$$ \frac{1}{1+r+r^2}=\frac{4}{7} $$

よって

$$ 1+r+r^2=\frac{7}{4} $$

すなわち

$$ 4r^2+4r-3=0 $$

となる。これを解くと

$$ r=\frac{-4\pm 8}{8}=\frac{1}{2},\ -\frac{3}{2} $$

を得るが、$r>0$ かつ （1） より $0<r<1$ であるから、

$$ r=\frac{1}{2} $$

である。

解説

この問題の本質は、中心角の列が等比数列であることから、全体の回転角も面積も等比級数の和として表せる点にある。

特に、条件 (ア) の「極限が $2\pi$」は

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\angle P_{n-1}OP_n=2\pi $$

を意味しており、ここからまず $\theta$ と $r$ の関係を確定させるのが基本方針である。

また、半径 $1$ の扇形の面積が「中心角の半分」であることを用いると、面積の問題も全く同じ形の等比級数として処理できる。

答え

**(1)**

$$ \frac{\theta}{1-r}=2\pi $$

すなわち

$$ \theta=2\pi(1-r)\qquad (0<r<1) $$

**(2)**

$$ r=\frac{1}{2} $$