解説

方針・初手

各項をそのまま眺めるより、分子を分けて無限等比級数の和に直すのが最も自然である。

まず

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}-(-1)^n}{2^{3n+1}} &= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} \\ &\quad - \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{3n+1}} \end{aligned} $$

と分け、それぞれを等比級数として計算する。

解法1

第1項について計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} &= \frac{9\cdot 3^{-n}}{2\cdot 8^n} \\ \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{24^n} \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} &= \frac{9}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{24}\right)^n \end{aligned} $$

であり、これは公比 $\frac{1}{24}$ の無限等比級数であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{24}\right)^n &= \frac{\frac{1}{24}}{1-\frac{1}{24}} \\ \frac{1}{23} \end{aligned} $$

より

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}}{2^{3n+1}} &= \frac{9}{2}\cdot \frac{1}{23} \\ \frac{9}{46} \end{aligned} $$

となる。

次に第2項について計算する。

$$ \begin{aligned} \frac{(-1)^n}{2^{3n+1}} &= \frac{1}{2}\left(-\frac{1}{8}\right)^n \end{aligned} $$

よって

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{3n+1}} &= \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{8}\right)^n \end{aligned} $$

である。これは公比 $-\frac{1}{8}$ の無限等比級数であるから、

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\left(-\frac{1}{8}\right)^n &= \frac{-\frac{1}{8}}{1-\left(-\frac{1}{8}\right)} \\ \frac{-\frac{1}{8}}{\frac{9}{8}} \\ -\frac{1}{9} \end{aligned} $$

したがって

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{2^{3n+1}} &= \frac{1}{2}\cdot \left(-\frac{1}{9}\right) \\ -\frac{1}{18} \end{aligned} $$

以上より、もとの級数は

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{2-n}-(-1)^n}{2^{3n+1}} &= \frac{9}{46}-\left(-\frac{1}{18}\right) \\ \frac{9}{46}+\frac{1}{18} \end{aligned} $$

となる。通分すると

$$ \begin{aligned} \frac{9}{46}+\frac{1}{18} &= \frac{81+23}{414} \\ \frac{104}{414} \\ \frac{52}{207} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、分子をまとめたまま扱わず、2つの無限等比級数に分解することである。

特に

$$ 3^{2-n}=9\cdot 3^{-n},\qquad 2^{3n+1}=2\cdot 8^n $$

と変形して、公比が見える形に直すことが重要である。また、無限等比級数の和

$$ \sum_{n=1}^{\infty}r^n=\frac{r}{1-r}\qquad (|r|<1) $$

を使うとき、初項が $n=0$ ではなく $n=1$ であることに注意する必要がある。

答え

$$ \boxed{\frac{52}{207}} $$

したがって、$[\text{ア}]=\displaystyle \frac{52}{207}$ である。