解説

方針・初手

分母に $a_{n-1}$ が含まれているので、そのままでは扱いにくい。そこで逆数

$$ {\frac{1}{a_n}} $$

を考えると漸化式が一次式になり、$a_n$ を容易に求められる。

その後、$b_n$ の各項に $a_n=\dfrac{1}{n^2}$ を代入すると、和は多項式の和に直せる。最後の無限級数は部分分数分解により望ましく望ましく消去型にする。

解法1

**(1)**

$a_n$ を $n$ で表す。

与えられた漸化式は

$$ a_1=1,\qquad a_n=\frac{a_{n-1}}{(2n-1)a_{n-1}+1}\qquad (n\geqq 2) $$

である。

ここで

$$ c_n=\frac{1}{a_n} $$

とおくと、

$$ c_n=\frac{1}{a_n} =\frac{(2n-1)a_{n-1}+1}{a_{n-1}} =(2n-1)+\frac{1}{a_{n-1}} =(2n-1)+c_{n-1} $$

となる。また $c_1=\dfrac{1}{a_1}=1$ である。

したがって

$$ c_n=c_{n-1}+(2n-1) $$

より、

$$ c_n=1+\sum_{k=2}^{n}(2k-1) =\sum_{k=1}^{n}(2k-1) =n^2 $$

である。ゆえに

$$ a_n=\frac{1}{c_n}=\frac{1}{n^2}. $$

**(2)**

$b_n$ を $n$ で表す。

（1） より

$$ a_k=\frac{1}{k^2},\qquad a_{n-k+1}=\frac{1}{(n-k+1)^2} $$

であるから、

$$ \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{a_k a_{n-k+1}}} &= \frac{1}{\sqrt{\dfrac{1}{k^2(n-k+1)^2}}} \\ k(n-k+1) \end{aligned} $$

となる。ここで $k,\ n-k+1$ は正であるから、絶対値は不要である。

したがって

$$ b_n=\sum_{k=1}^{n}k(n-k+1) $$

である。これを整理すると、

$$ \begin{aligned} b_n &=\sum_{k=1}^{n}\bigl((n+1)k-k^2\bigr) \\ &=(n+1)\sum_{k=1}^{n}k-\sum_{k=1}^{n}k^2 \\ &=(n+1)\cdot \frac{n(n+1)}{2}-\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &=\frac{n(n+1)}{6}\bigl(3(n+1)-(2n+1)\bigr) \\ &=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}. \end{aligned} $$

よって

$$ b_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}. $$

（3） 無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}$ の和を求める。

（2） より

$$ \frac{1}{b_n}=\frac{6}{n(n+1)(n+2)} $$

である。これを部分分数分解の形に直すと、

$$ \begin{aligned} \frac{6}{n(n+1)(n+2)} &= 3\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right) \end{aligned} $$

となる。

よって第 $N$ 項までの和 $S_N$ は

$$ \begin{aligned} S_N &=\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{b_n} \\ &=3\sum_{n=1}^{N} \left( \frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)} \right). \end{aligned} $$

これは望ましく消去して、

$$ \begin{aligned} S_N &= 3\left( \frac{1}{1\cdot 2}-\frac{1}{(N+1)(N+2)} \right) \end{aligned} $$

となる。したがって $N\to\infty$ とすると

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n} &= 3\cdot \frac{1}{2} \\ \frac{3}{2}. \end{aligned} $$

解説

この問題の要点は、最初の漸化式をそのまま追わず、逆数をとって

$$ {\frac{1}{a_n}} $$

の漸化式に変形することである。これにより奇数の和が現れ、$a_n=\dfrac{1}{n^2}$ が一気に出る。

すると $b_n$ の各項は

$$ \frac{1}{\sqrt{a_k a_{n-k+1}}} $$

から単なる整数の積 $k(n-k+1)$ になり、和の公式で処理できる。

最後は

$$ \frac{6}{n(n+1)(n+2)} $$

を消去型に直せるかどうかが決め手である。漸化式の処理、和の公式、部分分数分解が自然につながる典型的な問題である。

答え

**(1)**

$$ a_n=\frac{1}{n^2} $$

**(2)**

$$ b_n=\frac{n(n+1)(n+2)}{6} $$

**(3)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{b_n}=\frac{3}{2} $$