解説

方針・初手

座標を置いて $T_2$ の1辺の長さを直接求める。

その結果、どの正三角形から出発しても、次にできる正三角形の1辺の長さは一定の比で縮小されることが分かるので、面積は等比数列になる。したがって、総和 $S(t)$ は等比級数の和として求められる。

解法1

$T_1$ を座標平面上に

$$ A_1=(0,0),\quad B_1=(a,0),\quad C_1=\left(\frac a2,\frac{\sqrt3 a}{2}\right) $$

とおく。

$A_2$ は辺 $A_1B_1$ を $t:1$ に内分する点であるから、

$$ A_2=\left(\frac{at}{t+1},,0\right) $$

である。

同様に、$B_2$ は辺 $B_1C_1$ を $t:1$ に内分する点であるから、

$$ B_2=\frac{1\cdot B_1+t\cdot C_1}{t+1} =\left(\frac{a+\frac{at}{2}}{t+1},,\frac{\sqrt3 at}{2(t+1)}\right) $$

となる。

（1） $T_2$ の1辺の長さ

$A_2B_2$ を計算する。

$$ \begin{aligned} \overrightarrow{A_2B_2} &= \left( \frac{a+\frac{at}{2}}{t+1}-\frac{at}{t+1}, \frac{\sqrt3 at}{2(t+1)} \right) &= \left( \frac{a\left(1-\frac t2\right)}{t+1}, \frac{\sqrt3 at}{2(t+1)} \right) \end{aligned} $$

したがって、

$$ \begin{aligned} A_2B_2^2 &= \left(\frac{a\left(1-\frac t2\right)}{t+1}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3 at}{2(t+1)}\right)^2 \end{aligned} $$

# $$

\frac{a^2}{(t+1)^2} \left\{ \left(1-\frac t2\right)^2+\frac{3t^2}{4} \right\} =======

\frac{a^2}{(t+1)^2}(t^2-t+1)

$$

よって、

$$

A_2B_2=\frac{a\sqrt{t^2-t+1}}{t+1}

$$

である。$T_2$ は正三角形なので、これが $T_2$ の1辺の長さである。

（2） 面積の総和 $S(t)$

上の計算は、1辺の長さが $x$ の正三角形に対してまったく同様に成り立つ。したがって、1辺の長さは毎回

$$

r=\frac{\sqrt{t^2-t+1}}{t+1}

$$

倍になる。

よって、$T_n$ の1辺の長さは

$$

a,\ ar,\ ar^2,\ ար^3,\ \dots

$$

と並ぶので、面積は辺の長さの2乗に比例して

$$

\frac{\sqrt3}{4}a^2,\ \frac{\sqrt3}{4}a^2r^2,\ \frac{\sqrt3}{4}a^2r^4,\ \dots

$$

となる。

ここで

$$

r^2=\frac{t^2-t+1}{(t+1)^2}

$$

であり、

$$

(t+1)^2-(t^2-t+1)=3t>0 \qquad (t>0)

$$

だから $0<r^2<1$ である。したがって等比級数の和が使えて、

$$

S(t) ====

\frac{\frac{\sqrt3}{4}a^2}{1-r^2}

$$

となる。

さらに、

$$

1-r^2 =====

# 1-\frac{t^2-t+1}{(t+1)^2}

# \frac{(t+1)^2-(t^2-t+1)}{(t+1)^2}

\frac{3t}{(t+1)^2}

$$

であるから、

$$

S(t) ====

# \frac{\sqrt3}{4}a^2\cdot \frac{(t+1)^2}{3t}

\frac{\sqrt3 a^2}{12}\cdot \frac{(t+1)^2}{t}

$$

すなわち、

$$

S(t)=\frac{\sqrt3 a^2}{12}\left(t+2+\frac1t\right)

$$

である。

（3） $S(t)$ の最小値

$t>0$ であるから、相加相乗平均より

$$

t+\frac1t\geqq 2

$$

であり、等号は $t=1$ のときに成り立つ。

したがって、

$$

t+2+\frac1t\geqq 4

$$

であるから、

$$

S(t)\geqq \frac{\sqrt3 a^2}{12}\cdot 4=\frac{\sqrt3 a^2}{3}

$$

となる。よって最小値は

$$

\frac{\sqrt3 a^2}{3}

$$ \begin{aligned} であり、そのとき $t=1$ である。 \\ 解説

\\ この問題の本質は、各段階で「正三角形から正三角形へ、辺の長さが一定の比で縮む」ことを見抜くことである。 \\ （1） で $T_2$ の1辺を正確に出してしまえば、その比 \end{aligned} $$

\frac{\sqrt{t^2-t+1}}{t+1}

$$

が以後ずっと共通に現れる。すると面積比はその2乗となるので、（2） は等比級数の和に帰着する。

（3） は、求めた $S(t)$ を

$$

\frac{\sqrt3 a^2}{12}\left(t+2+\frac1t\right)

解説

の形に直してしまえば、$t+\frac1t\geqq 2$ を使うだけで処理できる。

答え

**(1)**

$T_2$ の1辺の長さは

$$

\frac{a\sqrt{t^2-t+1}}{t+1}

$$

である。

**(2)**

面積の総和 $S(t)$ は

$$

S(t)=\frac{\sqrt3 a^2}{12}\cdot \frac{(t+1)^2}{t} =\frac{\sqrt3 a^2}{12}\left(t+2+\frac1t\right)

$$

である。

**(3)**

$S(t)$ の最小値は

$$

\frac{\sqrt3 a^2}{3}

$$

であり、そのとき

$$

t=1

$$

である。