基礎問題集
数学3 極限「無限級数」の問題16 解説
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解説
方針・初手
分母の
$$ 1+2+\cdots+k $$
をまず一般項で表すのが初手である。ここを整理すると各項が分数分解でき、和が望ましい形に telescoping する。
解法1
$1+2+\cdots+k$ は等差数列の和より
$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$
である。
したがって、$a_n$ は
$$ a_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{1+2+\cdots+k} =\sum_{k=1}^n \frac{1}{\frac{k(k+1)}{2}} =\sum_{k=1}^n \frac{2}{k(k+1)} $$
と書ける。
ここで
$$ \frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $$
であるから、
$$ a_n =2\sum_{k=1}^n \left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $$
となる。
これを展開すると
$$ a_n =2\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\right] $$
であり、中間の項が打ち消し合って
$$ a_n=2\left(1-\frac{1}{n+1}\right)=\frac{2n}{n+1} $$
を得る。
よって
$$ \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} \frac{2n}{n+1} =2 $$
である。
解説
この問題の要点は、分母の和を
$$ 1+2+\cdots+k=\frac{k(k+1)}{2} $$
と変形し、各項を
$$ \frac{2}{k(k+1)} $$
の形にすることである。この形は
$$ \frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right) $$
と分数分解でき、和をとると連続して消えていく。数列の極限そのものを直接考えるより、まず一般項の構造を見抜くことが重要である。
答え
$$ [ウ]=2 $$