解説

方針・初手

正方形を座標平面上に置き，問題の円が接している2辺を座標軸とみなす。すると，その2辺に接する円の中心は必ず角の二等分線 $y=x$ 上にある。

したがって，半径 $r$ の円の中心は $(r,r)$ と表せる。これを用いると，円どうしの外接条件が中心間距離の式に直ちに置き換わる。

解法1

正方形を $0\leqq x\leqq 2,\ 0\leqq y\leqq 2$ とおく。半径1の円 $C_1$ は正方形に内接しているから，その中心は $(1,1)$ である。

また，$C_n$ は2辺 $x=0,\ y=0$ に接しているので，その中心は $(r_n,r_n)$ である。

**(1)**

$r_2,\ r_3$ を求める。

$C_2$ は $C_1$ と外接するから，中心間距離は半径の和に等しい。よって

$$ \sqrt{(1-r_2)^2+(1-r_2)^2}=1+r_2 $$

である。左辺を整理すると

$$ \sqrt{2}(1-r_2)=1+r_2 $$

したがって

$$ r_2=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}=(\sqrt{2}-1)^2=3-2\sqrt{2} $$

を得る。

次に，$C_3$ は $C_2$ と外接し，中心はそれぞれ $(r_2,r_2),\ (r_3,r_3)$ であるから

$$ \sqrt{(r_2-r_3)^2+(r_2-r_3)^2}=r_2+r_3 $$

すなわち

$$ \sqrt{2}(r_2-r_3)=r_2+r_3 $$

となる。これを $r_3$ について解くと

$$ r_3=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}r_2=(3-2\sqrt{2})r_2 $$

である。よって

$$ r_3=(3-2\sqrt{2})^2=17-12\sqrt{2} $$

となる。

**(2)**

$n\geqq 1$ のとき，$r_n$ を $n$ で表す。

$n\geqq 2$ とする。$C_{n-1},C_n$ の中心はそれぞれ $(r_{n-1},r_{n-1}),\ (r_n,r_n)$ であり，両円は外接するから

$$ \sqrt{(r_{n-1}-r_n)^2+(r_{n-1}-r_n)^2}=r_{n-1}+r_n $$

すなわち

$$ \sqrt{2}(r_{n-1}-r_n)=r_{n-1}+r_n $$

である。これを整理すると

$$ (\sqrt{2}-1)r_{n-1}=(\sqrt{2}+1)r_n $$

したがって

$$ r_n=\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}r_{n-1}=(3-2\sqrt{2})r_{n-1} $$

となる。$r_1=1$ であるから，${r_n}$ は初項1，公比 $3-2\sqrt{2}$ の等比数列であり，

$$ r_n=(3-2\sqrt{2})^{n-1} $$

である。

（3） 円 $C_1,C_2,C_3,\ldots$ の面積の総和を求める。

各円の面積は $\pi r_n^2$ であるから，総和を $S$ とすると

$$ S=\sum_{n=1}^{\infty}\pi r_n^2 =\pi\sum_{n=1}^{\infty}(3-2\sqrt{2})^{2(n-1)} $$

となる。ここで

$$ 0<3-2\sqrt{2}<1 $$

なので，これは収束する等比級数である。よって

$$ S=\frac{\pi}{1-(3-2\sqrt{2})^2} $$

である。さらに

$$ (3-2\sqrt{2})^2=17-12\sqrt{2} $$

より

$$ 1-(3-2\sqrt{2})^2=12\sqrt{2}-16 $$

したがって

$$ S=\frac{\pi}{12\sqrt{2}-16} =\frac{12\sqrt{2}+16}{32}\pi =\frac{4+3\sqrt{2}}{8}\pi $$

を得る。

（4） 立方体の場合を考える。

立方体を $0\leqq x,y,z\leqq 2$ とおく。半径1の球 $G_1$ の中心は $(1,1,1)$ である。

半径を $r$ とする球 $G_2$ が3つの面 $x=0,\ y=0,\ z=0$ に接しているとすると，その中心は $(r,r,r)$ である。$G_1$ と $G_2$ は外接するから

$$ \sqrt{(1-r)^2+(1-r)^2+(1-r)^2}=1+r $$

すなわち

$$ \sqrt{3}(1-r)=1+r $$

である。これを解くと

$$ r=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3} $$

となる。

解説

この問題の本質は，「2辺に接する円の中心は角の二等分線上にある」という点にある。これによって，各円の中心座標が $(r_n,r_n)$ と簡潔に表せるため，外接条件がそのまま半径の漸化式に変わる。

すると $r_n$ は等比数列になり，面積の総和も等比級数として処理できる。立方体の球の問題もまったく同じ発想で，2次元の $(r,r)$ が3次元の $(r,r,r)$ になるだけである。

答え

**(1)**

$$ r_2=3-2\sqrt{2},\qquad r_3=17-12\sqrt{2} $$

**(2)**

$$ r_n=(3-2\sqrt{2})^{n-1}\qquad (n\geqq 1) $$

**(3)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\text{円 }C_n\text{ の面積} =\frac{4+3\sqrt{2}}{8}\pi $$

**(4)**

球 $G_2$ の半径は

$$ 2-\sqrt{3} $$

である。