解説

方針・初手

接線の傾きと弦の傾きを比較して、$a_k$ の漸化式を作るのが初手である。

放物線 $y=x^2$ における $x=t$ での接線の傾きは $2t$ であり、2点 $(u,u^2),(v,v^2)$ を結ぶ直線の傾きは $u+v$ である。したがって条件から $a_k$ の差 $a_{k+1}-a_k$ が等比的に変化することが分かる。

その後、三角形の面積 $T_k$ を差 $a_{k+1}-a_k$ で表し、さらに $S$ も $a_2-a_1$ で表せばよい。

解法1

接線が直線 $A_kA_{k+1}$ に平行であるから、その傾きは等しい。

直線 $A_kA_{k+1}$ の傾きは

$$ \frac{a_{k+1}^2-a_k^2}{a_{k+1}-a_k}=a_k+a_{k+1} $$

である。

また、$A_{k+2}(a_{k+2},a_{k+2}^2)$ における放物線 $y=x^2$ の接線の傾きは

$$ 2a_{k+2} $$

であるから、

$$ 2a_{k+2}=a_k+a_{k+1} $$

すなわち

$$ a_{k+2}=\frac{a_k+a_{k+1}}{2} $$

を得る。

ここで

$$ d_k=a_{k+1}-a_k $$

とおくと、

$$ d_{k+1}=a_{k+2}-a_{k+1} =\frac{a_k+a_{k+1}}{2}-a_{k+1} =-\frac{a_{k+1}-a_k}{2} =-\frac{d_k}{2} $$

となる。よって ${d_k}$ は公比 $-\dfrac12$ の等比数列であり、

$$ d_k=(a_2-a_1)\left(-\frac12\right)^{k-1} $$

である。

次に、三角形 $A_kA_{k+1}A_{k+2}$ の面積 $T_k$ を求める。座標を用いると

$$ T_k =\frac12 \left| \begin{vmatrix} a_k & a_k^2 & 1\\ a_{k+1} & a_{k+1}^2 & 1\\ a_{k+2} & a_{k+2}^2 & 1 \end{vmatrix} \right| $$

であり、この行列式は因数分解して

$$ T_k=\frac12 |(a_{k+1}-a_k)(a_{k+2}-a_{k+1})(a_{k+2}-a_k)| $$

となる。

すなわち

$$ T_k=\frac12 |d_k,d_{k+1},(d_k+d_{k+1})| $$

である。ここで $d_{k+1}=-\dfrac12 d_k$ を用いると

$$ d_k+d_{k+1}=d_k-\frac12 d_k=\frac12 d_k $$

より、

$$ T_k =\frac12 \left|d_k\cdot\left(-\frac12 d_k\right)\cdot\left(\frac12 d_k\right)\right| =\frac18 |d_k|^3 $$

となる。

さらに $|d_{k+1}|=\dfrac12 |d_k|$ であるから、

$$ \frac{T_{k+1}}{T_k} =\frac{\frac18 |d_{k+1}|^3}{\frac18 |d_k|^3} =\left(\frac12\right)^3 =\frac18 $$

である。これで （1） は求まった。

次に （2） を求める。

$S$ は直線 $A_1A_2$ と放物線 $y=x^2$ で囲まれた部分の面積である。直線 $A_1A_2$ の方程式は

$$ y=(a_1+a_2)x-a_1a_2 $$

であるから、

$$ S=\int_{a_1}^{a_2}\left\{(a_1+a_2)x-a_1a_2-x^2\right\},dx $$

となる。被積分関数は

$$ (a_1+a_2)x-a_1a_2-x^2 =(x-a_1)(a_2-x) $$

であるので、

$$ S=\int_{a_1}^{a_2}(x-a_1)(a_2-x),dx $$

となる。ここで $d=a_2-a_1,(>0)$ とおき、$x=a_1+t$ と変数変換すると

$$ S=\int_0^d t(d-t),dt =\left[\frac d2 t^2-\frac13 t^3\right]_0^d =\frac16 d^3 $$

を得る。

一方、

$$ T_1=\frac18 (a_2-a_1)^3=\frac18 d^3 $$

であるから、

$$ T_1=\frac18 d^3=\frac18\cdot 6S=\frac34 S $$

となる。

また （1） より ${T_k}$ は公比 $\dfrac18$ の等比数列であるから、

$$ \sum_{k=1}^n T_k =T_1\frac{1-\left(\frac18\right)^n}{1-\frac18} $$

であり、$n\to\infty$ とすると

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n T_k =\frac{T_1}{1-\frac18} =\frac{\frac34 S}{\frac78} =\frac67 S $$

となる。

解説

この問題の本質は、点列そのものを直接求めることではなく、隣り合う $x$ 座標の差

$$ d_k=a_{k+1}-a_k $$

に着目することである。接線の傾きと弦の傾きを等しく置くと、$d_{k+1}=-\dfrac12 d_k$ となり、以後は面積が等比的に減少することが一気に見える。

また、放物線上の3点 $(u,u^2),(v,v^2),(w,w^2)$ が作る三角形の面積が

$$ \frac12 |(v-u)(w-v)(w-u)| $$

と因数分解できることも重要である。これにより、$T_k$ を $d_k$ だけで扱える。

答え

**(1)**

$$ \frac{T_{k+1}}{T_k}=\frac18 $$

**(2)**

$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n T_k=\frac67 S $$