解説

方針・初手

各項は

$$ \frac{\cos^n \theta}{\sin^n \theta}=\left(\frac{\cos \theta}{\sin \theta}\right)^n=(\cot \theta)^n $$

であるから，これは初項 $\cot \theta$，公比 $\cot \theta$ の等比級数である。

したがって，まず等比級数の収束条件 $|r|<1$ を用いて $\theta$ の範囲を求め，その後に和の公式を使えばよい。

解法1

与えられた級数は

$$ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos^n\theta}{\sin^n\theta} =\sum_{n=1}^{\infty}(\cot\theta)^n $$

である。

等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty}r^n$ が収束する条件は

$$ |r|<1 $$

であるから，この級数が収束する条件は

$$ |\cot\theta|<1 $$

である。

ここで，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ より $\sin\theta>0,\ \cos\theta>0$ であるから，$\cot\theta>0$ である。よって条件は

$$ \cot\theta<1 $$

となる。

$\cot\theta<1$ は

$$ \frac{\cos\theta}{\sin\theta}<1 $$

すなわち

$$ \cos\theta<\sin\theta $$

と同値であり，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ においては

$$ \theta>\frac{\pi}{4} $$

に対応する。

したがって，収束する $\theta$ の範囲は

$$ \frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2} $$

である。

次に，和を求める。等比級数の和の公式より

$$ \sum_{n=1}^{\infty}(\cot\theta)^n =\frac{\cot\theta}{1-\cot\theta} $$

である。

これを $\tan\theta$ を用いて表すために，$\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}$ を代入すると，

$$ \begin{aligned} \frac{\cot\theta}{1-\cot\theta} &= \frac{\frac{1}{\tan\theta}}{1-\frac{1}{\tan\theta}} \\ \frac{1}{\tan\theta-1} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は，複雑に見える式を等比級数

$$ \sum_{n=1}^{\infty}r^n $$

の形に見抜くことである。

また，$0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ という条件により $\cot\theta>0$ が分かるため，絶対値を外して単純に $\cot\theta<1$ とできる。この処理が速くできると解きやすい。

答え

**(2)**

$$ \frac{\pi}{4}<\theta<\frac{\pi}{2} $$

**(3)**

$$ \frac{1}{\tan\theta-1} $$