解説

方針・初手

円に内接する正方形を考えると，正方形の対角線は円の直径に等しい。したがって，円の半径 $r$ から正方形の一辺の長さを求めれば，その正方形に内接する円の半径も求められる。

この操作で半径が毎回一定の割合で小さくなることを押さえれば，面積 ${S_n}$ は等比数列になる。

解法1

円 $C_1$ は

$$ x^2+y^2=25 $$

で表されるから，半径は $5$ である。よって

$$ S_1=\pi \cdot 5^2=25\pi $$

である。

円 $C_1$ に内接する正方形を考える。この正方形の対角線は $10$ であるから，一辺の長さを $a$ とすると

$$ a\sqrt{2}=10 $$

より，

$$ a=\frac{10}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2} $$

となる。

この正方形に内接する円 $C_2$ の半径は，一辺の半分だから

$$ r_2=\frac{5\sqrt{2}}{2}=\frac{5}{\sqrt{2}} $$

である。したがって，

$$ S_2=\pi r_2^2=\pi \left(\frac{5}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{25\pi}{2} $$

となる。よって ① は

$$ \frac{25\pi}{2} $$

である。

同様に，$C_2$ に対して同じ操作を行うと，$C_3$ の半径は

$$ r_3=\frac{r_2}{\sqrt{2}}=\frac{5}{2} $$

となる。したがって，

$$ S_3=\pi r_3^2=\pi \left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25\pi}{4} $$

である。よって ② は

$$ \frac{25\pi}{4} $$

である。

次に，一般に $C_{n-1}$ の半径を $r_{n-1}$ とする。円 $C_{n-1}$ に内接する正方形の対角線は $2r_{n-1}$ であるから，その一辺を $a$ とすると

$$ a\sqrt{2}=2r_{n-1} $$

より，

$$ a=\sqrt{2},r_{n-1} $$

となる。この正方形に内接する円 $C_n$ の半径 $r_n$ は

$$ r_n=\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}r_{n-1}=\frac{r_{n-1}}{\sqrt{2}} $$

である。よって ③ は

$$ \frac{r_{n-1}}{\sqrt{2}} $$

である。

ここで，面積 $S_n$ は半径の二乗に比例するので，各項は前項の

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2=\frac{1}{2} $$

倍になる。したがって，${S_n}$ は初項 $25\pi$，公比 $\dfrac{1}{2}$ の等比数列である。

よって ④ は

$$ 25\pi $$

⑤ は

$$ \frac{1}{2} $$

である。

この数列の初項から第 $n$ 項までの和は

$$ 25\pi \cdot \frac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12} =50\pi \left(1-\left(\frac12\right)^n\right) $$

となる。よって ⑥ は

$$ 50\pi \left(1-\left(\frac12\right)^n\right) $$

である。

したがって，

$$ \sum_{n=1}^{\infty} S_n =\lim_{n\to\infty} 50\pi \left(1-\left(\frac12\right)^n\right) =50\pi $$

となる。よって ⑦ は

$$ 50\pi $$

である。

解説

この問題の要点は，円に内接する正方形の対角線が円の直径になることである。そこから正方形の一辺，さらにその正方形に内接する円の半径へとつなげれば，半径が毎回 $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 倍になることが分かる。

半径の比が分かれば，面積は半径の二乗に比例するので，面積の公比は $\dfrac12$ になる。したがって，最後は等比数列の和の公式を使えばよい。

答え

**(1)**

$$ \boxed{①=\frac{25\pi}{2}},\qquad \boxed{②=\frac{25\pi}{4}} $$

**(2)**

$$ \boxed{③=\frac{r_{n-1}}{\sqrt{2}}} $$

**(3)**

$$ \boxed{④=25\pi},\qquad \boxed{⑤=\frac12},\qquad \boxed{⑥=50\pi\left(1-\left(\frac12\right)^n\right)},\qquad \boxed{⑦=50\pi} $$