解説

方針・初手

各項を見ると、

$$ x^2,\ \frac{x^2}{1+2x^2},\ \frac{x^2}{(1+2x^2)^2},\ \dots $$

は初項 $x^2$、公比 $\dfrac{1}{1+2x^2}$ の等比級数である。したがって、まず $x\neq 0$ のときに無限等比級数の和を求め、その後 $x\to 0$ の極限をとればよい。

解法1

$x\neq 0$ のとき、

$$ \left|\frac{1}{1+2x^2}\right|<1 $$

であるから、与えられた級数は収束する。

よって $f(x)$ は無限等比級数の和として

$$ f(x)=x^2\left(1+\frac{1}{1+2x^2}+\frac{1}{(1+2x^2)^2}+\cdots\right) $$

と書ける。ここで公比を

$$ r=\frac{1}{1+2x^2} $$

とすると、

$$ f(x)=x^2\cdot \frac{1}{1-r} $$

である。

したがって、

$$ f(x)=x^2\cdot \frac{1}{1-\frac{1}{1+2x^2}} $$

となる。分母を整理すると、

$$ 1-\frac{1}{1+2x^2} =\frac{1+2x^2-1}{1+2x^2} =\frac{2x^2}{1+2x^2} $$

であるから、

$$ f(x)=x^2\cdot \frac{1+2x^2}{2x^2} =\frac{1+2x^2}{2} $$

を得る。

よって、

$$ \begin{aligned} \lim_{x\to 0} f(x) &= \lim_{x\to 0}\frac{1+2x^2}{2} \\ \frac{1}{2} \end{aligned} $$

である。

解説

この問題の要点は、$x\to 0$ のとき公比 $\dfrac{1}{1+2x^2}$ が $1$ に近づくことに惑わされず、まず $x\neq 0$ で無限等比級数の和を正しく求めることである。

各項に共通して $x^2$ があり、残りが等比的に並んでいるので、無限等比級数の公式

$$ \frac{a}{1-r} $$

をそのまま使えばよい。和を求めた後は、単なる多項式の極限に帰着する。

答え

$$ \frac{1}{2} $$

したがって、$[8]=\dfrac{1}{2}$ である。