解説

方針・初手

各点を

$$ A_n=(0,a_n),\qquad B_n=(b_n,0) $$

とおく。すると $a_n$ は $A_n$ の $y$ 座標、$b_n$ は $B_n$ の $x$ 座標である。

条件より、$\triangle OA_nB_n$ と $\triangle OB_nA_{n+1}$ はともに直角三角形である。したがって、与えられた角 $\theta$ に対して正接をとれば、$a_n,b_n$ の関係式が得られる。そこから $a_n$ の漸化式を作れば、等比数列として一気に処理できる。

解法1

$A_n=(0,a_n)$、$B_n=(b_n,0)$ とする。ただし $a_n>0,\ b_n>0$ であり、$a_1=1$ である。

条件 $\angle OA_nB_n=\theta$ より、直角三角形 $OA_nB_n$ において

$$ \tan\theta=\frac{OB_n}{OA_n}=\frac{b_n}{a_n} $$

である。したがって、

$$ b_n=a_n\tan\theta $$

を得る。

また、条件 $\angle OB_nA_{n+1}=\theta$ より、直角三角形 $OB_nA_{n+1}$ において

$$ \tan\theta=\frac{OA_{n+1}}{OB_n}=\frac{a_{n+1}}{b_n} $$

であるから、

$$ a_{n+1}=b_n\tan\theta $$

となる。ここに $b_n=a_n\tan\theta$ を代入すると、

$$ a_{n+1}=a_n\tan^2\theta $$

を得る。よって ${a_n}$ は初項 $1$、公比 $\tan^2\theta$ の等比数列であるから、

$$ a_n=\tan^{2n-2}\theta $$

となる。

したがって、

$$ b_n=a_n\tan\theta=\tan^{2n-1}\theta $$

である。

よって、

$$ A_4\text{ の }y\text{ 座標}=a_4=\tan^6\theta, \qquad B_4\text{ の }x\text{ 座標}=b_4=\tan^7\theta $$

である。

次に、線分 $A_nB_n$ の長さを $l_n$ とすると、

$$ l_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2} $$

であり、$b_n=a_n\tan\theta$ を用いて

$$ \begin{aligned} l_n &=\sqrt{a_n^2+a_n^2\tan^2\theta} \\ &=a_n\sqrt{1+\tan^2\theta} \\ &=\frac{a_n}{\cos\theta} \\ &=\frac{\tan^{2n-2}\theta}{\cos\theta} \end{aligned} $$

となる。

したがって、級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty l_n$ は

$$ \sum_{n=1}^\infty l_n =\frac{1}{\cos\theta}\sum_{n=1}^\infty \tan^{2n-2}\theta $$

である。これは公比 $\tan^2\theta$ の等比級数であるから、収束条件は

$$ \tan^2\theta<1 $$

すなわち、もともと $0<\theta<\dfrac{\pi}{2}$ であることを合わせて

$$ 0<\theta<\frac{\pi}{4} $$

である。

このとき、その和は

$$ \begin{aligned} \sum_{n=1}^\infty l_n &=\frac{1}{\cos\theta}\cdot \frac{1}{1-\tan^2\theta} \\ &=\frac{1}{\cos\theta}\cdot \frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta-\sin^2\theta} \\ &=\frac{\cos\theta}{\cos2\theta} \end{aligned} $$

となる。

解説

この問題の本質は、2つの直角三角形で正接をとることで、$a_n$ と $b_n$ の間に

$$ b_n=a_n\tan\theta,\qquad a_{n+1}=b_n\tan\theta $$

という関係を作ることである。これにより $a_{n+1}=a_n\tan^2\theta$ となり、座標列が等比数列であることがわかる。

あとは $l_n$ も等比数列となるので、無限級数の収束条件と和は標準的な等比級数の処理で求まる。途中で $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ を用いると、指定された形に整理できる。

答え

① $\tan^6\theta$

② $\tan^7\theta$

③ $\tan^{2n-2}\theta$

④ $\tan^{2n-1}\theta$

⑤ $\tan^{2n-2}\theta$

⑥ $0<\theta<\dfrac{\pi}{4}$

⑦ $\cos\theta$