解説

方針・初手

まず

$$ x_k=\frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)} $$

を

$$ \frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3} $$

の形に部分分数分解する。すると各項の和は調和級数型になるが、係数がうまく打ち消し合うので、有限和はほとんど望みどおりに消去できる。これを用いて （1） を求め、（2） と （3） はその結果から処理する。

解法1

**(1)**

$$ \frac{2ak+6b}{k(k+1)(k+3)} =\frac{p}{k}+\frac{q}{k+1}+\frac{r}{k+3} $$

とおく。

両辺に $k(k+1)(k+3)$ を掛けると、

$$ 2ak+6b=p(k+1)(k+3)+qk(k+3)+rk(k+1) $$

である。右辺を展開すると、

$$ \begin{aligned} p(k+1)(k+3)+qk(k+3)+rk(k+1) &=p(k^2+4k+3)+q(k^2+3k)+r(k^2+k) \\ &=(p+q+r)k^2+(4p+3q+r)k+3p \end{aligned} $$

となる。したがって係数比較により、

$$ \begin{cases} p+q+r=0 \\ 4p+3q+r=2a \\ 3p=6b \end{cases} $$

を得る。

最後の式から

$$ p=2b $$

であり、これを他に代入すると

$$ q+r=-2b,\qquad 3q+r=2a-8b $$

であるから、差をとって

$$ 2q=2a-6b $$

より

$$ q=a-3b $$

さらに

$$ r=-2b-q=-2b-(a-3b)=b-a $$

となる。

よって、

$$ x_k=\frac{2b}{k}+\frac{a-3b}{k+1}+\frac{b-a}{k+3} $$

であり、

$$ p=2b,\qquad q=a-3b,\qquad r=b-a $$

である。

**(2)**

**(i) $b=0$ のとき**

このとき （1） の結果より

$$ x_k=\frac{a}{k+1}-\frac{a}{k+3} $$

である。したがって

$$ \sum_{k=1}^n x_k =a\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k+3}\right) $$

となるので、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k &=a\left(\frac12+\frac13+\frac14+\cdots+\frac1{n+1} -\frac14-\frac15-\cdots-\frac1{n+3}\right) \\ &=a\left(\frac12+\frac13-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right) \end{aligned} $$

である。ゆえに

$$ \sum_{k=1}^n x_k =a\left(\frac56-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right) $$

となる。

**(ii) $a=0$ のとき**

このとき （1） の結果より

$$ x_k=\frac{2b}{k}-\frac{3b}{k+1}+\frac{b}{k+3} $$

である。したがって

$$ \sum_{k=1}^n x_k =b\sum_{k=1}^n\left(\frac{2}{k}-\frac{3}{k+1}+\frac{1}{k+3}\right) $$

となる。各分母ごとに並べると、

$$ \begin{aligned} \sum_{k=1}^n x_k &=b\Biggl[ 2+\left(1-\frac32\right)+\left(\frac23-1\right) \\ &\qquad\qquad +\sum_{j=4}^{n}\left(\frac{2}{j}-\frac{3}{j}+\frac{1}{j}\right) -\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3} \Biggr] \end{aligned} $$

となる。ここで $j=4,5,\dots,n$ の項はすべて $0$ であり、前半は

$$ 2-\frac12-\frac13=\frac76 $$

であるから、

$$ \sum_{k=1}^n x_k =b\left(\frac76-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right) $$

となる。

**(3)**

（1） を用いると、一般に

$$ x_k=\frac{2b}{k}+\frac{a-3b}{k+1}+\frac{b-a}{k+3} $$

であるから、

$$ S_n=\sum_{k=1}^n x_k $$

とおくと

$$ S_n =\sum_{k=1}^n\left(\frac{2b}{k}+\frac{a-3b}{k+1}+\frac{b-a}{k+3}\right) $$

である。これを整理すると、$1/k$ 型の主な部分は打ち消し合い、

$$ S_n=\frac{5a+7b}{6}-\frac{2b}{n+1}+\frac{b-a}{n+2}+\frac{b-a}{n+3} $$

を得る。

したがって $n\to\infty$ とすると後ろの項はすべて $0$ に収束するので、

$$ \sum_{k=1}^{\infty}x_k=\frac{5a+7b}{6} $$

である。

解説

この問題の核心は部分分数分解である。分母が $k,\ k+1,\ k+3$ に分かれるので、有限和をとると多くの項が相殺される。

特に （3） では、各項は見た目には $\frac{1}{k}$ 型を含んでいるが、係数

$$ 2b+(a-3b)+(b-a)=0 $$

となっているため、発散の原因となる調和級数部分が消えている。したがって無限級数も収束し、極限は有限和の式からすぐに読める。

答え

**(1)**

$$ p=2b,\qquad q=a-3b,\qquad r=b-a $$

**(2)**

**(i) $b=0$ のとき**

$$ \sum_{k=1}^n x_k =a\left(\frac56-\frac1{n+2}-\frac1{n+3}\right) \qquad (n\ge 3) $$

**(ii) $a=0$ のとき**

$$ \sum_{k=1}^n x_k =b\left(\frac76-\frac{2}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\right) \qquad (n\ge 4) $$

**(3)**

$$ \sum_{k=1}^{\infty}x_k=\frac{5a+7b}{6} $$