解説

方針・初手

与えられている和を

$$ S_n=\sum_{k=1}^n 2^{k-1}x_k $$

とおくと，条件は

$$ S_n=8-5n $$

である。

まず $n=1$ を代入して $x_1$ を求める。次に，$n\geqq 2$ では $S_n-S_{n-1}$ を考えると，和の最後の1項だけが残るので $x_n$ が直接求まる。あとは得られた一般項を用いて無限級数を等比級数として計算すればよい。

解法1

**(1)**

$x_1$ を求める。

$n=1$ のとき

$$ \sum_{k=1}^1 2^{k-1}x_k=x_1=8-5\cdot 1=3 $$

である。したがって，

$$ x_1=3 $$

である。

**(2)**

$n\geqq 2$ に対して $x_n$ を求める。

$n\geqq 2$ とする。条件より

$$ \sum_{k=1}^n 2^{k-1}x_k=8-5n $$

また，

$$ \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}x_k=8-5(n-1)=13-5n $$

である。両式の差をとると，

$$ 2^{n-1}x_n=(8-5n)-(13-5n)=-5 $$

となる。よって，

$$ x_n=-\frac{5}{2^{n-1}}\qquad (n\geqq 2) $$

である。

（3） 無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}x_n$ の和を求める。

（1）, （2） より，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n =3+\sum_{n=2}^{\infty}\left(-\frac{5}{2^{n-1}}\right) $$

である。ここで $m=n-1$ とおくと，

$$ \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n-1}} =\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m} $$

だから，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n =3-5\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m} $$

となる。等比級数の和より

$$ \sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{2^m} =\frac{\frac12}{1-\frac12}=1 $$

であるから，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n=3-5=-2 $$

である。

（4） 無限級数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}x_n\sin\frac{n\pi}{2}$ の和を求める。

$\sin \dfrac{n\pi}{2}$ は

$$ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ 0,\ -1,\ 0,\ \dots $$

と周期的に変化する。したがって偶数番目の項はすべて $0$ であり，奇数番目だけを取り出せばよい。

まず $n=1$ の項は

$$ x_1\sin\frac{\pi}{2}=3 $$

である。

次に $n=2m+1\ (m\geqq 1)$ とすると，

$$ x_{2m+1}=-\frac{5}{2^{2m}},\qquad \sin\frac{(2m+1)\pi}{2}=(-1)^m $$

であるから，

$$ x_{2m+1}\sin\frac{(2m+1)\pi}{2} =-\frac{5}{2^{2m}}(-1)^m =-5\left(-\frac14\right)^m $$

となる。よって，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n\sin\frac{n\pi}{2} =3+\sum_{m=1}^{\infty}\left\{-5\left(-\frac14\right)^m\right\} $$

である。ここで

$$ \sum_{m=1}^{\infty}\left(-\frac14\right)^m =\frac{-\frac14}{1+\frac14} =-\frac15 $$

だから，

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n\sin\frac{n\pi}{2} =3-5\left(-\frac15\right)=4 $$

である。

解説

部分和 $S_n$ が直接与えられているので，まずは $n=1$ を代入して初項を出し，その後は $S_n-S_{n-1}$ を考えるのが最も自然である。これにより $2^{n-1}x_n$ がただちに取り出せる。

また，（3） と （4） は一般項が求まれば等比級数に帰着する。特に （4） では $\sin \dfrac{n\pi}{2}$ の値が周期 $4$ で繰り返すことに気づけるかが重要である。偶数番目が消えるため，奇数番目だけを等比級数として整理すればよい。

答え

**(1)**

$x_1=3$

**(2)**

$$ x_n=-\frac{5}{2^{n-1}}\qquad (n\geqq 2) $$

**(3)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n=-2 $$

**(4)**

$$ \sum_{n=1}^{\infty}x_n\sin\frac{n\pi}{2}=4 $$