解説

方針・初手

各項

$$ f!\left(3^n|2n+1-x|\right) $$

がどの範囲で 0 でなくなるかを調べる。

$f(t)$ は $t<1$ のとき $1-t$，$t\geqq 1$ のとき $0$ であるから，$t\geqq 0$ に対しては「幅の小さい山形の関数」になる。したがって $g(x)$ は，奇数 $1,3,5,\dots$ を中心とする山形の関数の和として見ればよい。

解法1

まず

$$ f!\left(3^n|2n+1-x|\right) = \begin{cases} 1-3^n|x-(2n+1)| & \left(|x-(2n+1)|<3^{-n}\right),\\ 0 & \left(|x-(2n+1)|\geqq 3^{-n}\right) \end{cases} $$

である。

つまり，$n$ 番目の項は中心 $x=2n+1$，高さ $1$，底辺の長さ $2\cdot 3^{-n}$ の二等辺三角形である。

（1） $2\leqq x\leqq 4$ における $g(x)$

この範囲で各項が 0 でない条件を調べる。

$n=0$ のとき，0 でないのは

$$ |1-x|<1 $$

すなわち

$$ 0<x<2 $$

であるから，$2\leqq x\leqq 4$ では寄与しない。

$n=1$ のとき，0 でないのは

$$ |3-x|<\frac13 $$

すなわち

$$ \frac83<x<\frac{10}3 $$

である。

$n\geqq 2$ のとき，山の中心は $2n+1\geqq 5$ であり，$2\leqq x\leqq 4$ には現れない。

よって $2\leqq x\leqq 4$ では $n=1$ の項だけが残り，

$$ g(x)=f(3|3-x|) $$

となる。したがって

$$ g(x)= \begin{cases} 0 & \left(2\leqq x\leqq \frac83\right),\\ 3x-8 & \left(\frac83\leqq x\leqq 3\right),\\ 10-3x & \left(3\leqq x\leqq \frac{10}3\right),\\ 0 & \left(\frac{10}3\leqq x\leqq 4\right). \end{cases} $$

したがってグラフは，$x=\dfrac83$ から $x=\dfrac{10}3$ の間だけ現れる頂点 $(3,1)$ の二等辺三角形であり，それ以外は $x$ 軸上にある。

（2）

$$ S=\sum_{m=0}^{\infty}\int_{2m}^{2m+2}g(x),dx $$

を求める。

区間 $[2m,2m+2]$ を考える。

$n<m$ ならば，$x\in[2m,2m+2]$ に対して

$$ x-(2n+1)\geqq 2m-(2n+1)=2(m-n)-1\geqq 1 $$

であるから，

$$ |x-(2n+1)|<3^{-n} $$

は成り立たない。

また $n>m$ ならば，

$$ (2n+1)-x\geqq (2n+1)-(2m+2)=2(n-m)-1\geqq 1 $$

であるから，同様に寄与しない。

したがって，区間 $[2m,2m+2]$ では $n=m$ の項だけが寄与する。ゆえに

$$ \begin{aligned} \int_{2m}^{2m+2}g(x),dx &= \int_{2m}^{2m+2} f!\left(3^m|2m+1-x|\right),dx. \end{aligned} $$

これは中心 $x=2m+1$，高さ $1$，底辺の長さ $2\cdot 3^{-m}$ の三角形の面積に等しいから，

$$ \begin{aligned} \int_{2m}^{2m+2}g(x),dx &= \frac12\cdot 2\cdot 3^{-m}\cdot 1 \\ 3^{-m}. \end{aligned} $$

よって

$$ S=\sum_{m=0}^{\infty}3^{-m} =\frac{1}{1-\frac13} =\frac32. $$

解説

各項

$$ f!\left(3^n|2n+1-x|\right) $$

を，中心が $2n+1$ にある山形の関数と見るのが要点である。すると，$g(x)$ はそれらの山を並べた関数であり，各区間 $[2m,2m+2]$ にはちょうど 1 つの山しか入らないことが分かる。

（1） はどの山が $[2,4]$ に入るかを調べる問題であり，（2） は各山の面積を足し上げる問題になる。式変形で押すより，図形的に捉えると見通しがよい。

答え

**(1)**

$$ g(x)= \begin{cases} 0 & \left(2\leqq x\leqq \frac83\right),\\ 3x-8 & \left(\frac83\leqq x\leqq 3\right),\\ 10-3x & \left(3\leqq x\leqq \frac{10}3\right),\\ 0 & \left(\frac{10}3\leqq x\leqq 4\right). \end{cases} $$

したがって，頂点 $(3,1)$，底辺の端が $\left(\dfrac83,0\right),\left(\dfrac{10}3,0\right)$ の三角形のグラフであり，それ以外は $x$ 軸上である。

**(2)**

$$ S=\frac32. $$