解説

方針・初手

$\cos \dfrac{n\pi}{6}$ が入っているので、複素数 $\left(\dfrac12 e^{i\pi/6}\right)^n$ の実部として見ると、等比級数に直せる。

すなわち

$$ \begin{aligned} \left(\frac12\right)^n \cos \frac{n\pi}{6} &= \Re\left(\left(\frac12 e^{i\pi/6}\right)^n\right) \end{aligned} $$

であるから、まず複素等比級数の和を求め、その実部を取ればよい。

解法1

求める和を

$$ S=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n\cos\frac{n\pi}{6} $$

とおく。

複素数

$$ z=\frac12 e^{i\pi/6} $$

を考えると、$|z|=\dfrac12<1$ であるから、等比級数 $\sum_{n=0}^{\infty} z^n$ は収束し、

$$ \sum_{n=0}^{\infty} z^n=\frac{1}{1-z} $$

となる。

ここで

$$ z=\frac12\left(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\right) =\frac12\left(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{i}{2}\right) =\frac{\sqrt3}{4}+\frac{i}{4} $$

であるから、

$$ S=\Re\left(\sum_{n=0}^{\infty} z^n\right) =\Re\left(\frac{1}{1-z}\right) $$

となる。

したがって

$$ \begin{aligned} \frac{1}{1-z} &= \frac{1}{1-\frac{\sqrt3}{4}-\frac{i}{4}} \\ \frac{1}{\frac{4-\sqrt3}{4}-\frac{i}{4}} \\ \frac{4}{(4-\sqrt3)-i} \end{aligned} $$

であり、分母を有理化すると

$$ \begin{aligned} \frac{4}{(4-\sqrt3)-i} &= \frac{4{(4-\sqrt3)+i}}{(4-\sqrt3)^2+1} \end{aligned} $$

となるので、その実部は

$$ S=\frac{4(4-\sqrt3)}{(4-\sqrt3)^2+1} $$

である。

分母を整理すると

$$ (4-\sqrt3)^2+1=16-8\sqrt3+3+1=20-8\sqrt3=4(5-2\sqrt3) $$

だから、

$$ S=\frac{4(4-\sqrt3)}{4(5-2\sqrt3)} =\frac{4-\sqrt3}{5-2\sqrt3} $$

さらに有理化して

$$ \begin{aligned} S &= \frac{(4-\sqrt3)(5+2\sqrt3)}{(5-2\sqrt3)(5+2\sqrt3)} \\ &= \frac{20+8\sqrt3-5\sqrt3-6}{25-12} \\ &= \frac{14+3\sqrt3}{13} \end{aligned} $$

を得る。

解法2

一般に、$|r|<1$ のとき

$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} r^n e^{in\theta} &= \frac{1}{1-re^{i\theta}} \end{aligned} $$

であるから、その実部を取ると

$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} r^n\cos n\theta &= \frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^2} \end{aligned} $$

が成り立つ。

ここで

$$ r=\frac12,\qquad \theta=\frac{\pi}{6} $$

を代入すると、

$$ \begin{aligned} S &= \frac{1-\frac12\cos\frac{\pi}{6}}{1-2\cdot\frac12\cos\frac{\pi}{6}+\left(\frac12\right)^2} \\ &= \frac{1-\frac{\sqrt3}{4}}{1-\frac{\sqrt3}{2}+\frac14} \end{aligned} $$

となる。

分子・分母を整理して

$$ \begin{aligned} S &= \frac{\frac{4-\sqrt3}{4}}{\frac{5-2\sqrt3}{4}} \\ &= \frac{4-\sqrt3}{5-2\sqrt3} \\ &= \frac{14+3\sqrt3}{13} \end{aligned} $$

を得る。

解説

この問題の要点は、$\cos \dfrac{n\pi}{6}$ をそのまま扱わず、複素数の実部として等比級数に落とすことである。$\left(\dfrac12\right)^n$ が付いているため、複素数に直したあとも公比の絶対値が $\dfrac12<1$ となり、無限等比級数の公式がそのまま使える。

また、公式

$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty} r^n\cos n\theta &= \frac{1-r\cos\theta}{1-2r\cos\theta+r^2} \qquad (|r|<1) \end{aligned} $$

を知っていれば計算はさらに短くなる。大学入試では、複素数で導く発想を持っているかどうかが重要である。

答え

$$ \begin{aligned} \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac12\right)^n\cos\frac{n\pi}{6} &= \frac{14+3\sqrt3}{13} \end{aligned} $$